特集 xって、なに？ 第6章 ／全9章
同じ式、ちがう世界
y＝
針金にも、あめにも、
歩くことにもなる？
式の形が同じでも、x と y の「中身」は場面で変わる。そして、同じ場面でも、x と y を入れかえると、式が変わるんだよ。ふしぎだよね。
1. 同じ式 y＝3x 、ちがう3つの世界
式 y＝
| 場面 | x の名札 | y の名札 | 3 の読み方 |
|---|---|---|---|
| 針金 | 長さ（m） | 重さ（g） | 1 m あたり 3 g |
| あめ | 個数（個） | 代金（円） | 1 個あたり 3 円 |
| ゆっくり歩く | 時間（分） | 道のり（m） | 1 分あたり 3 m |
式を見ただけでは、どの場面かは決まらない。x と y の中身を決めるのは、問題の場面（と、あなたの宣言）だよ。
発見式の形は同じでも、x と y の中身がちがえば、まったく別の話になる。式だけを見ても、何の話かは決まらない。
2. 同じ場面でも、x と y の役割を入れかえられる
こんどは、同じ針金の場面（1 m で 3 g）で、役割を入れかえてみよう。
(A) x ＝ 長さ（m）、y ＝ 重さ（g）
式は y＝
(B) x ＝ 重さ（g）、y ＝ 長さ（m）
同じ針金なのに、表の数の並びがちがう。式はどうなるかな。
予想1 m で 3 g の針金。今度は、x を「重さ（g）」、y を「長さ（m）」とおく。y を x の式で表すと、どれ？
(B) の式は y＝
発見同じ針金でも、x と y の役割を入れかえると、式が変わる（y＝
3. 比例定数は、逆数になる
(A) と (B) の比例定数を並べてみよう。
| x | y | 式 | a | |
|---|---|---|---|---|
| (A) | 長さ（m） | 重さ（g） | y＝ |
3 |
| (B) | 重さ（g） | 長さ（m） | y＝ |
13 |
(A) の a＝3 は「1 m あたり 3 g」。(B) の a＝13 は「1 g あたり 13 m」。たがいに逆数になっているね。どちらも、同じ針金のことを言っているんだよ。
4. 反比例では、入れかえても同じ形
面積 24 cm² の長方形で、x ＝ たて、y ＝ 横としても、x ＝ 横、y ＝ たてとしても、式は y＝
反比例では、入れかえても式の形がかわらない。比例とちがうところだよ。
やってみよう
つぎの問題の、x と y の入れかえを考えよう。
- 1 個 80 円のりんご。x ＝ 個数、y ＝ 代金とすると、式は y＝
80x 。では、x ＝ 代金（円）、y ＝ 個数（個）とすると、式はどうなる？ - 分速 60 m で歩く。x ＝ 道のり（m）、y ＝ 時間（分）とすると、式はどうなる？
答え
1. 80 円で 1 個、160 円で 2 個。個数は代金を 80 でわったもの。y＝
2. 60 m で 1 分、120 m で 2 分。時間は道のりを 60 でわったもの。y＝
どちらも、比例定数が、もとの式の比例定数の逆数になっているよ。
まとめ
- 式だけでは、場面は決まらない。x と y の中身は、宣言と場面が決める。
- 比例では、x と y を入れかえても比例。比例定数は逆数になる。
- 反比例では、入れかえても同じ形 y＝
ax になる。
どう考えた？
同じ式 y＝3x を、「針金」以外の場面で使うなら、どんな場面があるかな。x と y が何を表すか、宣言といっしょに書いてみよう。
説明の例を見る
1 個 3 円のあめ。x ＝ あめの個数（個）、y ＝ 代金（円）。ほかにも、分速 3 m で歩く、x ＝ 時間（分）、y ＝ 道のり（m）など。
数学ではどう考える？
- 逆関数の考え方：y＝ax（a≠0）のとき、x＝y/a。x と y の役割を入れかえた式は、比例定数が 1/a の比例になる。一般に、「x を決めると y が決まる」関係のうち、y を決めると x も決まるものについて、決める側と決まる側を入れかえた関数を逆関数という（高校で学ぶ）。
- 反比例が入れかえに強い理由：x×y＝a は、x と y について対称な式。だから、x と y を入れかえても、同じ形 y＝a/x になる。
- 式と場面は別のもの：数学の式は、場面の1つのモデル。同じ式が、まったく別の場面のモデルにもなる。これが、式の「汎用性（どこでも使えること）」。
この章で、できるようになったこと
- 同じ式が、場面によってまったく別の意味になることを説明できる
- x と y の役割を入れかえると、式が変わることを説明できる