比例・反比例を使う

かみ合って回る2つの歯車。
歯の数が多い歯車は、速く回る？ おそく回る？

解説1〜7で学んだことを、身のまわりの場面で使ってみよう。どの場面でも、まず「どの形でおけるか」を考えるところから始まるよ。

冒頭の歯車は、どちらだろう。まず予想してみよう。

1. 場面から「おく形」を見つける

場面の中で比例・反比例を使うときは、いつも次の順に考えるよ。

1. ともなって変わる2つの量を見つけて、x と y を決める。
2. 何が一定かをさがして、おく形を決める。y÷x が一定なら比例 y＝ax、x×y が一定なら反比例 y＝ax。場面の言葉でいうと、x＝0 のとき y＝0 で「1あたりの量」が一定なら比例、「かけた量（全体の量）」が一定なら反比例だよ。
3. わかっている1組の x・y を入れて、a を求める。
4. 式を使って、聞かれた量を求める。
5. 場面にもどして確かめる。単位、変域（x がとれる範囲）、答えの大きさを見る。

身のまわりの場面を、「何が一定か」で分けてみよう。

「1あたりの量」が一定でも、比例とはかぎらないよ。はじめから 5 L 入っている水そうに、1分間に 2 L ずつ水を入れると、x 分後の水の量は y＝2x＋5 で、x＝0 のとき y＝5。y÷x が一定にならないので、比例ではない（中学2年で学ぶ1次関数だよ）。だから表の1行目は「からの水そう」なんだ。

冒頭の歯車は、表の4行目。かみ合う歯車では、何が一定なのかな。次で確かめよう。

2. 歯車：かみ合う歯の数は同じ

歯車 A は歯の数が 24 で、1分間に 10 回転している。A とかみ合う歯車 B の歯の数を x、B が1分間に回る回数を y 回転とするよ。

歯車がかみ合うところでは、A の歯が1つ進むと、B の歯も1つ進む。A が1分間に送り出す歯の数は、24×10＝240 で 240 個。だから、B も1分間に 240 個の歯を送っている。つまり、B の「歯の数×回転数」は、いつも 240 になる。表で確かめてみよう。

発見歯の数×回転数 はいつも 240。歯の数が2倍になると、回転数は 1/2倍になる。かみ合う歯車の歯の数と回転数は、反比例する。

冒頭の問いの答えは、「歯の数が多い歯車は、おそく回る」。反比例（a＝240 は正の数、x も正の数）だから、x が増えると y は減るんだ。自転車のギアを変えると、ペダルの重さや進み方が変わるのも、歯車の歯の数と回転数の関係を使っているからだよ。自転車の前と後ろの歯車は、直接かみ合うのではなく、チェーンでつながっている。それでも、チェーンが1分間に送る歯の数は前と後ろで同じなので、同じように「歯の数×回転数」が等しくなるんだ。

例題1　歯車の回転数

歯の数が 24 の歯車 A が、1分間に 10 回転しています。A とかみ合う歯車 B の歯の数が 16 のとき、B は1分間に何回転しますか。また、B を1分間に 8 回転させるには、B の歯の数をいくつにすればよいですか。

• 図：わかっている組は「歯の数 24 → 10 回転」。求めるのは「歯の数 16 → ？ 回転」と「？ 個 → 8 回転」。
• おく：B の歯の数を x、B の1分間の回転数を y 回転とする。かみ合う歯の数（歯の数×回転数）が一定だから、y は x に反比例する。y＝ax とおく。
• 入れる：B の歯の数が A と同じ 24 なら、B も 10 回転するから、x＝24、y＝10 を代入して 10＝a24。
• 求める：両辺に 24 をかけて、a＝10×24＝240。a は、1分間にかみ合う歯の数だね。
• 式にする：y＝240x。
• 使う：x＝16 を代入すると、y＝24016＝15。次に、y＝8 を代入すると 8＝240x。両辺に x をかけて 8x＝240、x＝30。
• 確かめる：16×15＝240、30×8＝240 で、どちらも 240 になる。歯の数が 24 より少ない 16 なら A より速く（15 回転）、多い 30 ならおそく（8 回転）回る。大きさも合っているね。

答え　15 回転、歯の数 30

3. 水そうと変域

場面の中では、x がとれる値に範囲（変域）があることが多い。変域があるときは、y がとる値の範囲も求められるよ。

例題2　水を入れる速さと時間

からの水そうを水でいっぱいにします。1分間に 20 L ずつ入れると、18 分でいっぱいになります。じゃ口は、1分間に入れる水の量を 12 L から 30 L まで調節できます。1分間に入れる水の量を x L、いっぱいになるまでの時間を y 分として、y の変域を求めなさい。

• おく：1分間に入れる水の量を x L、いっぱいになるまでの時間を y 分とする。水そうの容積（全体の量）は変わらないから、x×y は一定。y＝ax とおく。
• 入れる：x＝20、y＝18 を代入すると、18＝a20。
• 求める：両辺に 20 をかけて、a＝18×20＝360。水そうの容積は 360 L だね。
• 式にする：y＝360x。x の変域は 12≦x≦30。

両はしの x を代入する前に、グラフで y の変わり方を見て、予想してみよう。

• 使う：変域の両はしを代入する。x＝12 のとき y＝36012＝30、x＝30 のとき y＝36030＝12。
• 確かめる：12×30＝360、30×12＝360 で、どちらも容積と合う。グラフで見たとおり、変域の中では、y はいちばん小さくて 12、いちばん大きくて 30。

答え　12≦y≦30

x＝12 のときの y が 30 で、x＝30 のときの y が 12。x の小さいはしが、y の大きいはしになるね。a が正の数の反比例では、x が正の数の範囲で x が増えると y が減るので、はしが入れかわるんだ。変域は、いつも「小さい方≦y≦大きい方」の順に書こう。

はしが入れかわるのは、反比例だけではないよ。比例 y＝－2x で x の変域が －1≦x≦3 なら、y＝－2×(－1)＝2、y＝－2×3＝－6 だから、y の変域は －6≦y≦2。a が負の数の比例でも、はしが入れかわる。両はしを代入したら、どちらが小さいかを比べてから書くのが安全だよ。

もう1つ、反比例では、x の変域に 0 をふくめることはできない。x＝0 のときの y はないからね。似た問題は、問題集の 変域 007 にあるよ。

4. てこのつり合い

小学6年の理科で、てこが水平につり合うのは、「おもりの重さ×支点からの距離」が左右で等しいときだと学んだね（てこのうでの重さは考えないことにする）。この関係を、式で表してみよう。

左側のうでの、支点から 20 cm の所に 30 g のおもりをつるしておく。左側の「重さ×距離」は 30×20＝600。右側に x g のおもりを、支点から y cm の所につるしてつり合わせると、右側も x×y＝600 になる。

y＝600x

おもりの重さ x と、つり合う距離 y は反比例する。重いおもりほど、支点の近くでつり合うんだ。

たとえば x＝40 なら y＝60040＝15 で、15 cm の所。

ここで、場面にもどって考えよう。右側のうでの長さが 30 cm しかないなら、y は 30 以下でなければならない。y＝30 のとき x＝600÷30＝20 だから、20 g より軽いおもりは、どこにつるしてもつり合わない。式の上では、どんな x でも y が求められるけれど、場面では、うでの長さが変域を決めているんだね。

5. 比例と反比例のグラフの交点

比例のグラフと反比例のグラフが、同じ座標平面にあるとき、2つが交わる点を求めてみよう。

例題3　グラフの交点

比例のグラフ ℓ は点 (1, 2) を通り、反比例のグラフ m は点 (4, 2) を通ります。ℓ と m が交わる点のうち、x 座標が正の数である点の座標を求めなさい。

• おく：グラフの横の軸を x 軸、たての軸を y 軸とする。ℓ は比例のグラフだから y＝ax、m は反比例のグラフだから y＝bx とおく。2つの比例定数は別の数なので、ちがう文字にしておくよ。
• 入れる：ℓ に (1, 2) を入れると 2＝a×1。m に (4, 2) を入れると 2＝b4。
• 求める：a＝2。b＝2×4＝8。
• 式にする：ℓ は y＝2x、m は y＝8x。
• 使う：交わる点は、ℓ の上にも m の上にもある。つまり、同じ x に対して、2つの式の y が等しくなる。だから 2x＝8x。x は 0 ではないので、両辺に x をかけると 2x²＝8、両辺を 2 でわって x²＝4。x は「2乗して 4 になる数」だから、2²＝4、(－2)²＝4 より、x＝2 と x＝－2。x 座標が正の数の点は x＝2 で、そのとき y＝2×2＝4。
• 確かめる：点 (2, 4) を m の式に入れると、y＝82＝4 で合う。ℓ の式にも m の式にも合っているね。もう1つの交点 (－2, －4) も、y＝2×(－2)＝－4、y＝8－2＝－4 で、どちらの式にも合う。

答え　(2, 4)

交点は2つあったね。問題は「x 座標が正の数である点」を聞いているから、(2, 4) を答える。最後に問題文をもう一度読んで、聞かれている点を答えよう。この例題は、問題集の 比例と反比例を合わせて 001 にあるよ。

x²＝4 のような式の解き方は、中学3年で「平方根」として学ぶよ。今は「2乗して 4 になる数は？」と考えれば大丈夫。負の数の 2乗も正の数になるから、－2 をわすれないでね。

2つの交点が、原点をはさんで向かい合っているのには、理由がある。比例のグラフも反比例のグラフも、原点のまわりに半回転させると自分自身と重なる形だね。だから、交点 (2, 4) を原点のまわりに半回転させた点 (－2, －4) も、両方のグラフの上にあるんだ。

6. 場面にもどって確かめる

式を使って答えが出たら、最後に場面にもどることが大切だよ。次の3つを自分に聞いてみよう。

• 単位は合っている？　分と時間、cm と m がまざっていないか。
• 変域の中にある？　歯の数は整数、長さや時間は正の数、うでの長さ以上にはならない……。式の答えが、場面で起こりうる値になっているか。
• 大きさはおかしくない？　「速く歩けば時間は短くなるはず」「重いおもりほど支点に近いはず」のように、答えの大きさを場面の感覚と比べる。

身のまわりの量は、いつもぴったり比例・反比例するとはかぎらない。ばねはのびすぎるとこわれるし、歩く速さもずっと同じではない。比例・反比例の式は、場面を「ある範囲で、ある約束のもとで」表したものなんだ。だからこそ、範囲と約束を確かめてから使おう。

これで、比例と反比例の解説はおしまい。最初の問い「3 m で 12 g の針金。250 m では何 g？」は、今ならどう見えるかな。y＝ax とおけば1行で求められるね。問題集で、7つの段階を使って、いろいろな場面を解いてみよう。