座標：点の場所を2つの数で

数直線では、1つの数で場所を表した。
平面の上の場所は、どう表す？

比例の x と y の組を「点」にして並べると、グラフができるよ。そのために、平面の上の場所を数で表す方法を知っておこう。これが「座標」だよ。

1. 1つの数では、平面の場所は決まらない

正負の数で使った数直線を思い出そう。数直線の上なら、「3」と言えば、0 から右へ 3 の場所が1つに決まる。「－2」なら、0 から左へ 2 の場所だね。数直線の上の場所は、1つの数で表せた。

では、ノートのような平面の上ではどうだろう。「基準の点から右へ 3」とだけ言われても、その点の上のほうかもしれないし、下のほうかもしれない。右へ 3 の所を通るたての線の上なら、どこでも当てはまってしまうね。

平面の上の場所を1つに決めるには、「横にどれだけ」と「たてにどれだけ」の2つの数が必要なんだ。

教室の座席を思いうかべてみよう。「前から3列目で、窓から2番目の席」と言えば、席が1つに決まる。「3列目」だけでは、どの席かわからないね。これと同じで、平面の上の点も、2つの数の組で表すよ。

地図でも同じ考え方が使われている。地球の上の場所は、北や南へどれだけかを表す「緯度」と、東や西へどれだけかを表す「経度」の2つの数で表せる。カーナビやスマートフォンの地図が現在地を示せるのも、場所を2つの数の組として扱っているからだよ。

2. x軸・y軸・原点

横と、たての2本の数直線を、0 の所で直角に交わらせよう。

• 横の数直線を x軸（横軸）という。右が正の向き。
• たての数直線を y軸（縦軸）という。上が正の向き。
• 2本の軸が交わる点を 原点 といい、O で表す。

x軸と y軸を決めた平面を、座標平面 というよ。この平面の上で、原点から点 P まで動いてみよう。

発見平面の上の点の場所は、原点から「横にどれだけ」と「たてにどれだけ」の2つの数の組で表せる。右と上は正の数、左と下は負の数で表す。

点 P は、原点から右へ 3、下へ 2 の所にあったね。このとき、

• 3 を点 P の x 座標、－2 を点 P の y 座標 という。
• 2つを組にした (3, －2) を点 P の 座標 といい、P(3, －2) と書く。

ポイントx 座標と y 座標の組 (x 座標, y 座標) を、その点の座標という。点 P の座標が (3, －2) であることを、P(3, －2) と書く。

点 Q(－4, 3) は、原点から左へ 4、上へ 3 の所だった。x 座標の －4 の「－」は、「左へ」という向きを表しているんだ。数直線の負の数と同じ考え方だね。

原点 O の座標は、横にもたてにも動かないから (0, 0) だよ。

3. 点をとる・点の座標を読む

座標から点をとるときは、次の順に進もう。

1. 原点から、x 座標の数だけ横に進む（正の数なら右、負の数なら左）。
2. そこから、y 座標の数だけたてに進む（正の数なら上、負の数なら下）。
3. 着いた所に点をかく。

反対に、かいてある点の座標を読むときは、点から x軸と y軸へ、それぞれ垂直に線をひく。x軸に届いた所の目もりが x 座標、y軸に届いた所の目もりが y 座標だよ。

点がどこにあるかは、x 座標と y 座標の符号を見るだけでも、だいたいわかる。次の問いで予想してから、図を動かしてみよう。

発見x 座標が負の数の点は y軸より左、y 座標が負の数の点は x軸より下にある。y 座標が 0 の点は x軸の上、x 座標が 0 の点は y軸の上にある。

座標平面は、2本の軸で4つの部分に分かれる。それぞれの部分の点の、x 座標と y 座標の符号をまとめておこう。

軸の上にある点は、4つの部分のどこにも入らない。D(4, 0) は x軸の上、E(0, －4) は y軸の上だね。「0 はどこに進む？」と迷ったら、「その向きには動かない」と考えよう。

4. 順番をまちがえない

座標は、いつも (x 座標, y 座標) の順、つまり (横, たて) の順に書く。

(2, 5) と (5, 2) は、同じ2つの数を使っているけれど、ちがう点だよ。(2, 5) は右へ 2、上へ 5。(5, 2) は右へ 5、上へ 2。場所がまったくちがうね。

「横が先」というのは、みんなで決めた約束なんだ。2つの数を組にするとき、どちらを先に書くかをそろえておかないと、同じ (2, 5) を見ても、人によってちがう場所を思いうかべてしまう。約束をそろえるから、座標で場所を伝え合えるんだよ。

約束だから、反対の順に決めることもできたはずだね。それでも、x を横の軸にとって、その x を先に書くのには、使いやすいわけがあるよ。解説1で、「x の値を決めると、y の値がただ1つ決まる」のが関数だったね。先に決めるのが x、それにつれて決まるのが y。関数のグラフをかくときは、先に決める x を先に、それで決まる y を後に書く。こうしておくと、表の上の行（x）と下の行（y）を、そのままの順で組にするだけで点がとれるんだ。このあとの例題1で、実際にやってみよう。

もう1つ気をつけたいのが、目もり1つ分の大きさ。この解説のここまでの図では、目もり1つ分が 1 だった。でも、グラフによっては、y軸の目もり1つ分が 2 や 3、4、5 のこともある（解説2の針金のグラフは 4、このあとの例題1のグラフは 2。解説5・8 のグラフにも出てくるよ）。点を読む前に、軸にかいてある数を見て、目もり1つ分がいくつかを確かめよう。

迷ったら、「横に歩いてから、エレベーターでたてに動く」と考えてみて。まず横（x）、次にたて（y）の順番だよ。

5. 比例の式から、点をとる

座標を使うと、比例の x と y の組を、平面の上の点として表せる。ここでも出発点は「y＝ax とおく」だよ。

例題1　式を求めて、点をとる

y は x に比例し、x＝1 のとき y＝－2 です。x が －2、－1、0、1、2 のときの x と y の組を、座標平面の上に点で表しなさい。

• おく：y は x に比例するから、y＝ax とおく。
• 入れる：x＝1、y＝－2 を代入すると、－2＝a×1。
• 求める：a＝－2。x＝1 のときの y が、そのまま a になるね。
• 式にする：y＝－2x。
• 使う：x に －2、－1、0、1、2 を入れて、y を求める。

たとえば x＝－2 のときは、y＝－2×(－2)＝4。表の x と y を組にして、(－2, 4)、(－1, 2)、(0, 0)、(1, －2)、(2, －4) の5つの点をとるよ。

• 確かめる：原点以外の4つの点で、y÷x を計算すると、どれも －2 になる。たとえば (－2, 4) なら 4÷(－2)＝－2。比例定数と同じだね。

5つの点は、まっすぐに並んでいるように見えるね。点の数をもっとふやすとどうなるかは、次の解説5で確かめよう。

例題2　点が式に合うかを調べる

3つの点 (3, －6)、(－4, 8)、(5, －12) のうち、x 座標と y 座標の組が、式 y＝－2x に合う点はどれですか。

• 使う：それぞれの点の x 座標を y＝－2x に入れて、y を計算する。
  • (3, －6)：y＝－2×3＝－6。y 座標と同じだから、合う。
  • (－4, 8)：y＝－2×(－4)＝8。y 座標と同じだから、合う。
  • (5, －12)：y＝－2×5＝－10。y 座標の －12 とちがうから、合わない。
• 確かめる：y÷x でも調べられる。(－6)÷3＝－2、8÷(－4)＝－2 は比例定数と同じ。(－12)÷5＝－2.4 はちがう。

答え　(3, －6) と (－4, 8)

式に合う点を全部集めたものが、その式のグラフになる。グラフは「式に合う x と y の組の集まり」を目に見えるようにしたものなんだ。

例題3　点の座標から比例定数を求める

点 (4, 6) は、y が x に比例する関係の、x と y の組を表しています。この関係で、x 座標が －2 である点の座標を求めなさい。

• おく：y は x に比例するから、y＝ax とおく。
• 入れる：点 (4, 6) の x 座標 4 を x に、y 座標 6 を y に代入すると、6＝a×4。座標の前の数が x、後ろの数が y だよ。
• 求める：4a＝6。両辺を 4 でわって、a＝6÷4＝32。
• 式にする：y＝32x。
• 使う：x＝－2 を代入すると、y＝32×(－2)＝－3。点の座標は (－2, －3)。
• 確かめる：(－3)÷(－2)＝32 で、比例定数と同じ。a が正の数だから、x 座標が負の数なら y 座標も負の数で、点は左下にある。場所も合っているね。

答え　(－2, －3)

座標の組を式に入れるときに、x と y を逆にすると、4＝a×6 となって a＝2/3 になってしまう。「(x, y) の順」は、点をとるときだけでなく、式に入れるときにも大切なんだ。

次は、比例 y＝ax の点をどんどんふやして、グラフがどんな形になるかを見ていくよ。