反比例：y＝a/x とおく

面積が 12 cm² の長方形。
横の長さを2倍にしたら、縦の長さはどうなる？

比例では、x が2倍になると y も2倍になったね。長方形の面積を変えないまま、横をのばしたら、縦はどうなるかな？

1. 面積が決まった長方形

面積がいつも 12 cm² になる長方形を、いろいろ作ってみよう。横の長さを x cm、縦の長さを y cm とするよ。

横が 1 cm なら、縦は 12 cm。横の長さを決めると、縦の長さがただ1つに決まるから、y は x の関数だね。横を2倍、3倍にしたら縦はどうなるか、予想しながら表にしていこう。

発見x が2倍、3倍になると、y は 1/2倍、1/3倍になる。どの組でも、x×y はいつも 12。

横の長さを2倍にすると、縦の長さは 1/2倍になる。これが冒頭の問いの答えだよ。面積は変わらないから、横がのびた分だけ、縦がちぢむんだ。

今度は、表をたてに見て、x×y を計算してみよう。

どの列でも、x×y は 12。長方形の面積は 横×縦 だから、面積のきまりどおりの結果だね。じつは、この「x×y がいつも同じ数になる」ことが、反比例のいちばん大事な性質なんだ。

x×y＝12 を、y について表すと、y＝12÷x。わり算は分数で書くから、

y＝12x

面積が 12 cm² でなく、20 cm² でも 7 cm² でも、式の形は同じで、分子の数が変わるだけ。そこで、この数を a とおいて、

y＝ax

と書く。これが反比例の式だよ。

ポイントy が x の関数で、y＝ax（a は 0 でない決まった数）で表されるとき、「y は x に反比例する」という。この a も比例定数という。

反比例の比例定数 a は、x×y の値になっている。長方形の例では、a＝12 は面積だね。比例の a が「y÷x」だったのと、くらべてみよう。

場面の中の反比例では、a は「全体の量」になっていることが多いよ。

• 面積 12 cm² の長方形の、横 x cm と縦 y cm → a＝12（面積）
• 1200 m の道のりを歩くときの、分速 x m とかかる時間 y 分 → a＝1200（道のり）
• 60 個のあめを x 人で同じ数ずつ分けるときの、1人分 y 個 → a＝60（あめの全部の数）

比例の a が「1あたりの量」になることが多かったのと、くらべてみてね。全体の量が決まっていて、それを「いくつ分」に分けると「1つ分」が決まる。これが反比例の場面の形なんだ。

2. x が負の数のとき、x＝0 のとき

中学校では、反比例も負の数まで広げるよ。y＝6x で、x が負の数のときの y を求めてみよう。x＝0 のときは、どうなるかな。

発見x が負の数になっても、x×y はいつも 6 で、x が2倍になると y は 1/2倍になる。x＝0 のときの y はない。

x＝－2 のとき、y＝6－2＝－3。正の数÷負の数は負の数だから、x が負の数なら y も負の数になる（a が正の数のとき）。それでも x×y は (－2)×(－3)＝6 で、ちゃんと 6 のまま。

x＝0 のときは、y の値がない。y＝6x に x＝0 を入れると 6÷0 になるけれど、0 でわる計算はできないからね。x×y＝6 で考えても、0×y はどんな y でも 0 だから、6 にはならない。だから、反比例では x＝0 は考えない。

もう1つ、y も 0 にはならない。y＝0 だとすると、x×0＝0 で、6 にならないからだ。このことは、次の解説7でグラフを見るときに大切になるよ。

x が分数や小数のときも、同じように y が求められる。

• x＝1/2 のとき、y＝6÷12＝12
• x＝0.1 のとき、y＝6÷0.1＝60

x が正の数のまま 0 に近づくほど、y はどんどん大きくなる。x が負の数のまま 0 に近づくときは、y は負の数で、その絶対値がどんどん大きくなる（x＝－0.1 のとき y＝－60）。どちらの場合も、x がぴったり 0 になることはないんだ。

3. 比例定数が負の数のとき

a が負の数の反比例も考えてみよう。y＝－12x では、x×y がいつも －12 になる。

x が負の数のとき

x が正の数のとき

x が正の数なら y は負の数、x が負の数なら y は正の数。符号が反対になるね。どの列でも、x×y は －12 になっているよ。

ここで、「x が増えると、y はどうなるか」を考えてみよう。

y＝－6x で、x＝1 のとき y＝－6、x＝3 のとき y＝－2。－6 より －2 のほうが大きいから、x が増えると y も増えている。

小学校では、反比例を「一方が増えると、もう一方が減る関係」と覚えた人もいるかもしれない。でも、それが言えるのは、

• 比例定数 a が正の数で、
• x が正の数だけ（または、負の数だけ）の範囲で考えるとき

なんだ。a が負の数なら、x の符号が同じ範囲では、x が増えると y も増える。

ただし、a が正の数でも負の数でも、x が 0 をまたぐと話が変わる。たとえば y＝6x で、x が －1 から 1 に増えると、y は －6 から 6 に増える。y＝－6x で、x が －1 から 1 に増えると、y は 6 から －6 に減る。x＝0 のところで y の符号が入れかわるからだよ。「増える・減る」を言うときは、x の符号が同じ範囲かどうかを確かめよう。

ポイント反比例かどうかを決めるのは「増えるか、減るか」ではなく、「x×y が一定か」（y＝ax の形で表せるか）である。

4. 比例と反比例を見分ける

「x が増えると y が減る」だけでは、反比例とはいえない。次の問いで確かめてみよう。

3つの場面を、式で表してみよう。

• 道のりと速さと時間：速さ×時間＝道のり だから、x×y＝18。y＝18x と表せるので、反比例。速さを2倍にすると、かかる時間は 1/2倍になるね。
• ペンの代金：y＝80x。y÷x がいつも 80 だから、比例。
• 残りのカード：x＋y＝20 で、y＝20－x。x が増えると y は減るけれど、x×y は 2×18＝36、4×16＝64 とばらばら。だから反比例ではない。比例でもないよ。

比例と反比例を、表にまとめておこう。

表を見て見分けるときは、y÷x と x×y の両方を計算してみるのがいちばん確かだよ。どちらかが、どの列でも同じ数になっていれば、その関係だとわかる。

5. y＝a/x とおいて、式を求める

反比例の問題も、「y＝ax とおく」ところから始める。わかっている x と y の組を1つ入れれば、a が決まるよ。

例題1　負の数の反比例

y は x に反比例し、x＝4 のとき y＝－6 です。x＝－3 のときの y の値を求めなさい。

• おく：x と y は問題文のとおり。y は x に反比例するから、y＝ax とおく。
• 入れる：x＝4、y＝－6 を代入すると、－6＝a4。
• 求める：両辺に 4 をかけて、a＝－6×4＝－24。反比例では a＝x×y だから、はじめから x と y をかけて求めてもいいよ。
• 式にする：y＝－24x。
• 使う：x＝－3 を代入すると、y＝－24－3＝8。
• 確かめる：x×y を計算すると、(－3)×8＝－24。はじめの組の 4×(－6)＝－24 と同じになったね。

答え　y＝8

「－24÷(－3)」の符号をまちがえて －8 にしやすいので、注意しよう。負の数÷負の数は正の数だよ。この例題は、問題集の 反比例の式 001 にあるよ。

例題2　速さと時間

家から図書館まで、分速 60 m で歩くと 20 分かかります。同じ道を分速 80 m で歩くと、何分かかりますか。

• 図：わかっている組は「分速 60 m → 20 分」、求めるのは「分速 80 m → ？ 分」。
• おく：歩く速さを分速 x m、かかる時間を y 分とする。道のりが同じだから、速さ×時間 はいつも同じ。y は x に反比例するので、y＝ax とおく。
• 入れる：x＝60、y＝20 を代入すると、20＝a60。
• 求める：両辺に 60 をかけて、a＝20×60＝1200。a は、家から図書館までの道のり 1200 m だね。
• 式にする：y＝1200x。
• 使う：x＝80 を代入すると、y＝120080＝15。
• 確かめる：80×15＝1200 で、道のりと合う。速く歩くほど時間が短くなるので、20 分より短い 15 分は、大きさもおかしくない。

答え　15 分

例題3　y から x を求める

y は x に反比例し、x＝－3 のとき y＝4 です。y＝－2 となる x の値を求めなさい。

• おく：y は x に反比例するから、y＝ax とおく。
• 入れる：x＝－3、y＝4 を代入すると、4＝a－3。
• 求める：両辺に －3 をかけて、a＝4×(－3)＝－12。
• 式にする：y＝－12x。
• 使う：y＝－2 を代入すると、－2＝－12x。x は 0 ではないので、両辺に x をかけてよい。－2x＝－12 を解いて、x＝6。
• 確かめる：x×y を計算すると、6×(－2)＝－12。比例定数と同じだね。

答え　x＝6

「使う」は、x×y＝a を使って、x×(－2)＝－12 から x＝6 と求めることもできるよ。

次は、反比例 y＝ax のグラフを見ていくよ。比例のような直線になるかな？