比例のグラフ

y＝2x の点を、どんどん細かくとっていくと、
どんな形が見えてくる？

解説4では、y＝－2x の5つの点が、まっすぐ並んでいるように見えたね。点のあいだにも、点はあるのかな？ 点をふやしていって、確かめてみよう。

1. 点をふやしていく

比例 y＝2x で、x が －3 から 3 までの整数のときの y を求めると、次の表になる。

表の x と y を組にして、座標平面の上に点をとっていこう。そのあと、x＝0.5 や x＝1.5 のような、整数のあいだの x でも点をとってみるよ。

発見比例 y＝2x のグラフは、原点を通る1本の直線になる。

x は整数だけでなく、0.5 でも、1.25 でも、どんな数でもとれる。そのたびに y＝2x で y が決まり、点が1つできる。点のあいだを、さらに点がうめていくので、最後はすきまのない1本の線になるんだ。この線が、y＝2x のグラフだよ。

では、どうして曲がらずに、まっすぐなのかな。

表を横に見ると、x が 1 増えるごとに、y はいつも 2 ずつ増えている。x が 0.5 増えれば、y は 1 増える。グラフのどこで調べても、「右へ 1 進むと、上へ 2 上がる」という同じ割合で進んでいく。進む割合がずっと変わらないから、向きが変わらず、まっすぐな線になるんだ。

そして、x＝0 のとき y＝2×0＝0 だから、グラフは必ず原点 (0, 0) を通る。

ポイント比例 y＝ax のグラフは、原点を通る直線である。

小学6年でも、比例のグラフは「0 の点を通る直線」だったね。そのときは x も y も 0 以上の部分（右上）だけだった。中学校では、x が負の数の部分まで、原点をこえて直線がのびていく。

2. a の符号とグラフの向き

a がいろいろな数のとき、グラフはどう変わるかな。y＝2x のグラフに、ほかの比例のグラフを1本ずつ重ねていくよ。

発見a が正の数なら右上がり、a が負の数なら右下がりの直線になる。a の絶対値が大きいほど、かたむきは急になる。

y＝ax では、x が 1 増えると、y は a だけ変わる。

• a が正の数なら、y は増える。右へ進むと上がるので、右上がりの直線になる。
• a が負の数なら、y は減る。右へ進むと下がるので、右下がりの直線になる。

たとえば y＝－2x では、x が 1 増えると、y は 2 減る（「－2 増える」と言ってもいいね）。

かたむきの急さは、a の絶対値で決まる。y＝2x と y＝－2x は、向きは反対だけれど、急さは同じ。どちらも、右へ 1 進むと、たてに 2 動くからね。y＝(1/2)x は、右へ 1 進んでも、たてに 1/2 しか動かないので、ゆるやかになる。

とくに、a＝1 の y＝x は、(1, 1)、(2, 2)、(－3, －3) のように、x 座標と y 座標が同じ点を通る直線になる。a＝－1 の y＝－x は、(1, －1)、(－2, 2) のように、x 座標と y 座標の符号が反対の点を通る。a が 1 より大きいと y＝x より急に、0 と 1 の間だと y＝x よりゆるやかになるよ。

この「かたむき」は、中学2年の1次関数で「傾き」という名前で、くわしく学ぶよ。

反対に、グラフが直線でも、原点を通らなければ比例のグラフではない。たとえば、x＝0 のとき y＝1 になる直線は、原点 (0, 0) を通らないので、y＝ax の形では表せない。このような直線は、中学2年で y＝ax＋b として学ぶよ。

3. 比例のグラフをかく

比例のグラフは原点を通る直線だから、原点ともう1つの点がわかれば、定規で直線をひいてかける。もう1つの点は、x 座標も y 座標も整数になる点（目もりの交わる点）を選ぶと、正確にかけるよ。

例題1　式を求めて、グラフをかく

y は x に比例し、x＝6 のとき y＝4 です。この関係のグラフをかきなさい。

• おく：y は x に比例するから、y＝ax とおく。
• 入れる：x＝6、y＝4 を代入すると、4＝a×6。
• 求める：6a＝4。両辺を 6 でわって、a＝4÷6＝23。
• 式にする：y＝23x。
• 使う：グラフが通る点を1つ見つける。x＝1 だと y＝23×1＝23 で、目もりの上にのらない。分母の 3 を x に入れると、y＝23×3＝2 で、y が整数になる。原点 O と点 (3, 2) を通る直線をひく。
• 確かめる：x＝－3 を入れると y＝23×(－3)＝－2。点 (－3, －2) も、ひいた直線の上にあるね。はじめの組 (6, 4) も、直線をのばした先にある。

a が分数のときは、分母の数（やその倍数）を x に選ぶと、y が整数になって、点をとりやすいよ。

原点に近すぎる点を選ぶと、定規を当てたときに少しずれただけで、線の向きが大きく変わってしまう。原点からなるべくはなれた点を選ぶと、正確な直線がひけるよ。

では、グラフの上にある点を見分けられるかな。

点がグラフの上にあるかどうかは、x 座標を式に入れて、y 座標と同じになるかで調べられる。y＝－3x に x＝1 を入れると y＝－3×1＝－3。だから (1, －3) はグラフの上にあるね。

4. グラフから式を読む

今度は反対に、グラフから式を求めよう。ここでも出発点は「y＝ax とおく」だよ。

例題2　原点を通る直線の式

下のグラフは、原点を通る直線です。このグラフの式を求めなさい。

• 図：グラフが、目もりの交わる点を通っているところをさがす。点 (2, －3) を通っている。
• おく：グラフの横の軸を x 軸、たての軸を y 軸とする。原点を通る直線だから、比例のグラフ。y＝ax とおく。
• 入れる：x＝2、y＝－3 を代入すると、－3＝a×2。
• 求める：2a＝－3。両辺を 2 でわって、a＝－3÷2＝－32。
• 式にする：y＝－32x。聞かれているのは式だから、これが答えになる。
• 確かめる：x＝－2 を入れると y＝－32×(－2)＝3。グラフも点 (－2, 3) を通っている。また、グラフは右下がりで、a も負の数。向きも合っているね。

答え　y＝－32x

グラフから点を読むときは、目もりの交わる点を、線がぴったり通っている所を選ぼう。目もりのあいだの点を「だいたい 1.4 くらい」と読むと、正しい a が求められない。

もう1つ気をつけたいのが、目もり1つ分の大きさ。y軸の目もり1つ分が 2 のグラフで、点 (3, 4) を「上へ目もり2つだから (3, 2)」と読んでしまうと、a は 4/3 ではなく 2/3 になってしまう。点を読む前に、軸の数を見て、目もり1つ分がいくつかを確かめよう。この例題は、問題集の グラフから式へ 001 で、7つの段階を1つずつ開きながら解けるよ。

5. 変域のあるグラフ

場面の中の比例では、x がとれる値に限りがあることが多い。そのとき、グラフは直線の一部になるよ。

例題3　水そうに水を入れる

深さ 12 cm の水そうに、からの状態から水を入れます。水の深さは1分間に 3 cm ずつ上がります。水を入れはじめてから x 分後の水の深さを y cm とするとき、y を x の式で表しなさい。また、x の変域と y の変域を求めなさい。

• おく：時間を x 分、水の深さを y cm とする。からの状態から入れるので x＝0 のとき y＝0 で、1分あたりに上がる深さも同じだから、深さは時間に比例する。y＝ax とおく。
• 入れる：x＝1 のとき y＝3 だから、3＝a×1。
• 求める：a＝3。
• 式にする：y＝3x。
• 使う：水そうがいっぱいになるのは y＝12 のとき。12＝3x を解いて x＝4。水を入れはじめたのが x＝0 だから、x の変域は 0≦x≦4。そのとき y の変域は 0≦y≦12。
• 確かめる：x＝4 を入れると y＝3×4＝12 で、水そうの深さと合う。

答え　y＝3x、x の変域 0≦x≦4、y の変域 0≦y≦12

グラフは、原点から点 (4, 12) までの線分になる。両はしの ● は、「その点をふくむ」という印だよ。もし x の変域が 0＜x≦4 のように 0 をふくまないなら、原点のところは ○ にする。x＝4 より先は、水があふれてしまうので、グラフをかかない。

このように、表・式・グラフは、同じ関係を3つの形で表したものなんだ。比例定数 a は、表では「y÷x」、式では「x の前の数」、グラフでは「右へ 1 進んだときに、たてに動く量」として、3つのどこにも顔を出しているよ。

次は、反比例 y＝ax を学ぶよ。比例とは、x と y の変わり方が、どうちがうかな。