反比例のグラフ

y＝6/x の点をつないでいくと、どんな形になる？
グラフは、原点を通る？

比例のグラフは、原点を通る直線だったね。反比例のグラフも、まっすぐになるのかな？ x＝0 のときの y はなかったけれど、グラフではどうなるんだろう。

1. 点をとって、つないでみる

y＝6x で、x が正の数のときの y を求めて、表にしよう。

表の x と y を組にして、座標平面に点をとっていくよ。x が負の数のときの点も、あとでとってみよう。

発見反比例 y＝6x のグラフは、右上と左下にある、2つのなめらかな曲線になる。原点は通らない。

点をすきまなくとると、角のないなめらかな曲線になる。このような、2つの部分に分かれた曲線を双曲線というよ。2つの曲線は別々のグラフではなく、2つ合わせて y＝6x の1つのグラフなんだ。

では、どうして比例のようにまっすぐにならないのかな。x が 1 ずつ増えるときの、y の変わり方を見てみよう。

• x が 1 から 2 になると、y は 6 から 3 へ、3 減る。
• x が 2 から 3 になると、y は 3 から 2 へ、1 減る。
• x が 3 から 4 になると、y は 2 から 1.5 へ、0.5 減る。

比例では、x が 1 増えると y はいつも同じだけ変わったから、直線になった。反比例では、x が 1 増えたときの y の変わり方が、場所によってちがう。x が正の数の範囲では、y の変わり方がだんだん小さくなっていく。最初は急に下がり、だんだんゆるやかになるから、曲がった線になるんだ（x が負の数の範囲では反対に、x が 0 に近づくほど、y の変わり方がだんだん大きくなるよ）。

ポイント反比例 y＝ax のグラフは、2つのなめらかな曲線（双曲線）になる。

2. 軸にどこまで近づく？

グラフの右のはしを見ると、曲線は x軸にどんどん近づいていた。上のはしでは、y軸に近づいていた。このまま進むと、いつか軸にぶつかるのかな。x をもっと大きくしたり、0 に近づけたりして、調べてみよう。

発見x を大きくすると、y は 0 に近づくけれど、0 にはならない。x を正の数のまま 0 に近づけると、y はどんどん大きくなるけれど、x は 0 にはならない。

解説6で見たように、y＝6x では、

• x＝0 のときの y はない（0 ではわれない）。だから、グラフは y軸（x 座標が 0 の点の集まり）と交わらない。
• y が 0 になることはない（x×y はいつも 6 だから）。だから、グラフは x軸（y 座標が 0 の点の集まり）と交わらない。

グラフは、x軸にも y軸にも、限りなく近づいていく。でも、決して交わらないし、軸の上にのることもないんだ。

図の中では、曲線は四角いわくのところで切れて見える。でも、それはかいた範囲が決まっているからで、グラフそのものは、わくの外へもずっと続いているよ。

反比例のグラフをかくときは、次のことに気をつけよう。

• 点をいくつもとって、定規を使わず、なめらかな曲線でつなぐ（折れ線にしない）。
• 軸に近づけていくけれど、軸にふれさせない。
• 右上の曲線と左下の曲線を、原点を通ってつながない。
• かく範囲のはしまで、曲線をのばす（途中で止めない）。

点をとるときは、y が整数になる x を選ぶと正確にかけるよ。y＝6x なら、6 をわりきれる 1、2、3、6 と、－1、－2、－3、－6 を選ぶといいね。

3. a の符号とグラフの位置

a が負の数のとき、グラフはどこにできるかな。y＝6x と y＝－6x のグラフをくらべてみよう。

発見a が正の数なら、グラフは右上と左下。a が負の数なら、グラフは左上と右下。どちらも、原点について反対側に同じ形がある。

グラフの場所は、x と y の符号で決まる。

• y＝6x：x が正の数なら y も正の数（右上）、x が負の数なら y も負の数（左下）。
• y＝－6x：x が正の数なら y は負の数（右下）、x が負の数なら y は正の数（左上）。

x が増えるときの y の変わり方も、グラフを見ると確かめられる。ただし、曲線の1つの部分の中で見ることが大切だよ。

y＝6x で x が －1 から 1 に増えると、y は －6 から 6 に増える。左下の曲線から右上の曲線へ、とびうつるからだね。「反比例は x が増えると y が減る」とまとめてしまうと、こういうところでまちがえるよ。

a の絶対値が大きくなると、曲線は原点から遠ざかる。たとえば y＝12x は点 (2, 6) や (3, 4) を通り、y＝6x の曲線より外側（原点から遠い側）にできるよ。

4. グラフから式を求める

グラフが通る点がわかれば、反比例の式を求められる。ここでも出発点は「y＝ax とおく」だよ。まず、グラフの上にある点を見分けられるか、確かめてみよう。

点が y＝ax のグラフの上にあるかどうかは、x 座標×y 座標が a になるかで調べられる。2×(－4)＝－8 だから、点 (2, －4) は y＝－8x のグラフの上にあるね。

例題1　グラフが通る点から式を求める

反比例のグラフが、点 (3, －4) を通っています。このグラフの式を求めなさい。また、このグラフの上にあって、x 座標が －6 である点の y 座標を求めなさい。

• おく：グラフの横の軸を x 軸、たての軸を y 軸とする。反比例のグラフだから、y＝ax とおく。
• 入れる：x＝3、y＝－4 を代入すると、－4＝a3。
• 求める：両辺に 3 をかけて、a＝－4×3＝－12。
• 式にする：y＝－12x。
• 使う：x＝－6 を代入すると、y＝－12－6＝2。
• 確かめる：x×y を計算すると、(－6)×2＝－12 で、比例定数と同じ。a が負の数だからグラフは左上と右下にあり、点 (3, －4) は右下、点 (－6, 2) は左上。場所も合っているね。

答え　y＝－12x、y 座標は 2

例題2　座標が整数になる点を数える

y は x に反比例し、そのグラフは点 (2, 4) を通ります。このグラフの上の点のうち、x 座標と y 座標がどちらも整数である点は、いくつありますか。

• おく：y は x に反比例するから、y＝ax とおく。
• 入れる：x＝2、y＝4 を代入すると、4＝a2。
• 求める：両辺に 2 をかけて、a＝4×2＝8。
• 式にする：y＝8x。
• 使う：x が整数で、y も整数になるのは、8 が x でわりきれるとき。x＝1、2、4、8 と、負の数の x＝－1、－2、－4、－8。点は (1, 8)、(2, 4)、(4, 2)、(8, 1)、(－1, －8)、(－2, －4)、(－4, －2)、(－8, －1) の8つ。
• 確かめる：どの点も、x×y＝8 になっている。x＝0 はもともと考えないので、数に入れない。負の数の点をわすれていないかも確かめよう。

答え　8 個

右上の4つの点と、左下の4つの点は、原点をはさんで向かい合っている。たとえば (2, 4) と (－2, －4) だね。グラフの形が、原点について反対側に同じ形になっているからだよ。

例題3　場面の中の反比例のグラフ

面積が 12 cm² の長方形の、横の長さを x cm、縦の長さを y cm とします。y を x の式で表し、グラフがどの部分にどんな形でできるかを説明しなさい。

• おく：横の長さを x cm、縦の長さを y cm とする。横×縦＝面積 がいつも 12 だから、y は x に反比例する。y＝ax とおく。
• 入れる：横 1 cm なら縦 12 cm だから、x＝1、y＝12 を代入して 12＝a1。
• 求める：a＝12×1＝12。
• 式にする：y＝12x。
• 使う：長さは正の数だから、x の変域は x＞0。グラフは、y＝12x の右上の曲線だけになる。左下の曲線（x が負の数の部分）は、長方形の場面では使わない。
• 確かめる：たとえば (2, 6)、(3, 4)、(4, 3) は、どれも x×y＝12 で、面積 12 cm² の長方形を表している（(3, 4) と (4, 3) は、横と縦を入れかえた長方形だね）。横をどんどん長くすると、縦は 0 に近づくけれど、0 にはならない。グラフが x軸にふれないことと合っているね。

答え　y＝12x。グラフは右上の曲線だけ（x＞0）になる。

式だけで考えると x が負の数の部分もあるけれど、場面にもどると、使うのはその一部だけ。これは、解説1で学んだ「変域」の考え方だよ。変域のある場面は、解説8でくわしく使うよ。

5. 比例のグラフとくらべる

比例と反比例のグラフを、表にまとめておこう。

a の符号でグラフの場所が決まるところは、比例も反比例も同じだね。どちらも、a が正の数なら右上と左下、a が負の数なら左上と右下にグラフがある。

場面の中の反比例では、x が正の数だけのことが多い（長さ・速さ・人数など）。そのときは、グラフも右上の曲線の一部だけになるよ。変域のあるグラフは、解説8で使うよ。

次は、比例と反比例を、歯車・速さ・水そう・てこなどの場面で使ってみよう。比例と反比例のグラフが交わる点も求めるよ。