第1章 ／ 中3 2次方程式
2次方程式と解の意味
同じ面積になる数は、1つだけ？
式に数を代入し、解が何を表すかを確かめよう。
まず、予想してみよう
正方形の1辺を2 cm長く、もう1辺を1 cm短くすると、面積40 cm²の長方形になったよ。もとの1辺は何cmだろう？ ノートに図を描き、見当をつけてみよう。答えは最後の章でもう一度考えるよ。
小学校では、長方形の面積を「縦×横」で求めたね。もとの1辺を x cmとおくと、新しい辺は x＋2 と x−1。同じ面積を表すから、(x＋2)(x−1)＝40 と書けるよ。展開すると x² が現れる。1次方程式のときよりも、扱える関係が広がるんだ。
解の意味は、1次方程式と同じ
式の x に代入して、等式を成り立たせる値を 解 というよ。x²＝25 なら、5だけでなく−5も解になるかな？ 下の実験を使う前に、予想を書いておこう。
xを変えて、両辺を比べよう
x＝0：左辺0、右辺25。等しくないね。
5と−5をそれぞれ試してみよう。動かさなくても、下の解説で確かめられるよ。
実験から分かることを確かめる
5×5も、(−5)×(−5)も25になるね。x²＝25 の解は x＝5，−5。いくつかの値を試すのは発見の手がかりで、すべての解を見つけた理由には「25の平方根」の考えを使うよ。
図の正方形では、辺の長さは正なので5 cmだけを使うよ。一方、数の方程式 x²＝25 には負の解−5もある。面積の図は、負の長さを表すものではないんだ。
「2次」の意味を言葉にしよう
1つの文字について整理したとき、ax²＋bx＋c＝0（a≠0） の形になる方程式を2次方程式というよ。a・b・cは決まった数で、xが求めたい値。a＝0なら x² の項がなくなるから、この形の2次方程式ではないね。
x²＋x＝x²＋2 は、整理すると x−2＝0。最初に x² が見えていても2次方程式とは限らないよ。また、x² は x×x、2x は2×x。同じものではないね。
数学ではどう考える？
この単元では、実数の解をもつ2次方程式を扱うよ。異なる解が2つの場合と、重なって1つの場合がある。(x−4)²＝0 の解は4だけ。「2次だから必ず2つの異なる答え」と覚えないでね。
学んだことを使おう
「解とは何か」「方程式の解と、長さの答えの違い」を、1次方程式を学んでいる人にも伝わるように説明してみよう。