第5章／中3 2次方程式

解の公式を使う

同じ式変形を、まとめられる？

平方の形への変形と結び付け、係数の符号に注意して使おう。

同じ操作を、毎回くり返さずに済む？

x²＋3x＋1＝0 を平方の形に変えると、何を足せばよいかな。3の半分は3/2。少し分数が増えるけれど、前の章と同じ考えが使えるよ。

具体的な式変形を見る

x²＋3x＝−1
x²＋3x＋9/4＝−1＋9/4
(x＋3/2)²＝5/4
x＋3/2＝±√5/2
x＝(−3±√5)/2

係数3の半分と、その2乗を使っているね。係数が変わっても同じ手順で解ける。この繰り返しをまとめたものが、解の公式だよ。

ax²＋bx＋c＝0（a≠0）のとき

x ＝ −b ± √(b²−4ac)2a

この単元では、根号の中が0以上で、実数の解をもつ場合を扱うよ。

上の例では a＝1、b＝3、c＝1。根号の中は3²−4×1×1＝5、分母は2×1＝2。平方の形から求めた答えと同じになるね。

数学ではどう考える？ — 公式につながる変形

ax²＋bx＋c＝0の両辺を4a倍し、定数項を移すと 4a²x²＋4abx＝−4ac。両辺にb²を足せば (2ax＋b)²＝b²−4ac。平方根の考えで 2ax＋b＝±√(b²−4ac)。最後にbを引いて2aで割ると、解の公式になるよ。a≠0だから、2aで割れるんだ。

2x²−3x−1＝0では、a＝2、b＝−3、c＝−1。−bは＋3、b²は(−3)²＝9、−4acは−4×2×(−1)＝＋8。だから根号の中は17、分母は4だよ。

x＝(3±√17)/4

分母は分子全体を割るよ。3±√17/4 と書くと、3を4で割らない式になってしまう。

2x²＋5x＋2＝0を公式で解くと、x＝−2，−1/2。式は (2x＋1)(x＋2) に因数分解でき、同じ解になるよ。方法が違っても、解はもとの等式を成り立たせる同じ値なんだ。