第4章 ／ 中3 2次方程式
平方の形に変形する
正方形にするには、何を足す？
同じ数を両辺に足す理由を図と式で考えよう。
正方形の、足りない角は？
x²＋6x は、x²の正方形と、幅3の長方形2つに分けて考えられるよ。大きな正方形にするには、あとどんな部分が必要かな？ 図を見て予想しよう。
足す数を確かめる
足りない角は3×3＝9。だから x²＋6x＋9＝(x＋3)² になるね。図はxが正のときの面積モデルだけれど、この等式は展開で確かめれば、xが負でも成り立つよ。
左辺だけに足してよいかな？
x²＋6x＝7 を解こう。左辺に9を足すなら、右辺にも9を足さないと等式が保てないね。
x²＋6x＝7
x²＋6x＋9＝7＋9
(x＋3)²＝16
x＋3＝±4
x＝1，−7
x²＋6x＋9＝7＋9
(x＋3)²＝16
x＋3＝±4
x＝1，−7
1を代入すると1＋6＝7。−7を代入すると49−42＝7。図に負の長さを描けなくても、数式の解には−7も含まれるよ。
なぜ、係数の半分を2乗するの？
(x＋p)² を展開すると x²＋2px＋p²。xの係数が6なら、2p＝6なのでp＝3。足りない定数はp²＝9なんだ。
x²−4xなら、2p＝−4からp＝−2。足す数は(−2)²＝4で、x²−4x＋4＝(x−2)²になるよ。
このように平方の形に整える操作は「平方完成」とも呼ばれるよ。この章では、xの係数が偶数の例を中心に考えるね。どの問題でも、両辺に足した数を書き残すことを大切にしよう。