1次関数を使う

2つの料金プラン。
どちらを選ぶと安くなる？

ここまでで、y＝ax＋b とおいて、a と b を決める方法がそろったね。この解説では、身のまわりの場面を1次関数で表して、先のことを予想したり、くらべたりしてみよう。

場面を1次関数で考えるときも、7つの段階は同じだよ。とくに大事なのは次の3つ。

• おく：何を x、何を y にするかを決め、「一定の割合で変わる」ことを確かめてから y＝ax＋b とおく。
• 求める：場面から a（1あたりの量）と b（はじめの量）を読むか、2組の値から求める。
• 確かめる：答えを場面に戻し、変域の中に入っているかを見る。

1. ろうそくの長さを予想する

例題1　長さのわからないろうそくに火をつけた。火をつけてから 6分後に長さをはかると 17 cm、14分後には 13 cm だった。ろうそくは一定の割合で短くなるものとする。火をつける前の長さと、燃えつきるのが何分後かを求めよう。

• おく：火をつけてからの時間を x 分、ろうそくの長さを y cm とする。一定の割合で短くなるから、y＝ax＋b とおく。
• 求める（a）：2組の値がわかっているので、変化の割合を使う。13－1714－6＝－48＝－12。だから a＝－1/2。1分に 1/2 cm ずつ短くなるということだね。
• 入れる・求める（b）：y＝－12x＋b に x＝6、y＝17 を代入すると、17＝－12×6＋b。b＝17＋3＝20。
• 式にする：y＝－12x＋20
• 使う：火をつける前（x＝0）の長さは b＝20 で、20 cm。燃えつきるのは y＝0 のときだから、0＝－12x＋20。12x＝20 で、x＝40。40分後。
• 確かめる：使っていない組 x＝14 を入れると y＝－12×14＋20＝13。合っている。

グラフで見ると、はかった2点から、見ていない時間のことまでわかるのがよくわかるよ。

発見はかった2点 (6, 17)、(14, 13) を通る直線をのばすと、y 軸との交点 (0, 20) が火をつける前の長さ、x 軸との交点 (40, 0) が燃えつきる時間を表す。

2つの測った値から、「火をつける前」という過去のことも、「燃えつきる時間」という先のことも予想できたね。これが、1次関数で場面を表すよさだよ。

ただし、この式が場面を表すのは 0≦x≦40 のあいだだけ。x＝50 を入れると y＝－12×50＋20＝－5 になるけれど、燃えつきたろうそくの長さは －5 cm ではないね。

2. ばねの長さを予想する

ばねにおもりをつるすと、ばねはのびる。おもりの重さとばねの長さの関係も、ばねがのびすぎない範囲では1次関数とみなせるよ。

a＝1/10 は「1 g あたり 0.1 cm のびる」、b＝12 は「何もつるさないときの長さ」。ここでも a は1あたりの量、b ははじめの量になっているね。

3. 料金プランをくらべる

例題2　ある電力会社の料金プランは、次の2つ。どちらを選ぶと安くなるかを、式とグラフで調べよう。

• A プラン：基本料金 1500 円に、使った電気 1 kWh ごとに 25 円
• B プラン：基本料金 0 円で、使った電気 1 kWh ごとに 30 円

1か月に使う電気の量を x kWh、料金を y 円とする。どちらのプランも、1 kWh ごとに同じ金額ずつ増えるから、A プランを y＝ax＋b、B プランを y＝cx＋d とおける。a・c は 1 kWh あたりの料金、b・d は基本料金だね。

• A プラン：a＝25、b＝1500 だから、y＝25x＋1500
• B プラン：c＝30、d＝0 だから、y＝30x（d＝0 なので、比例でもある）

では、どちらのプランが安いかな。予想してから、グラフで確かめよう。

発見2本の直線は点 (300, 9000) で交わる。300 kWh より少なければ B プランが安く、300 kWh より多ければ A プランが安い。ちょうど 300 kWh なら、どちらも 9000 円。

交点の x 座標は、2つの式を連立方程式として解けば求められる（解説6）。

25x＋1500＝30x

5x＝1500 で、x＝300。そのとき y＝30×300＝9000。

グラフを見ると、どちらが安いかは「どちらの直線が下にあるか」でわかる。交点の左では B の直線が下、右では A の直線が下。1 kWh ごとの料金は B の方が 5 円高いので、使う量が増えるほど、基本料金 1500 円の差がうまっていく。1500÷5＝300 kWh で、ちょうど差がなくなるんだ。

たとえば、1か月に 250 kWh 使う家では、A は 25×250＋1500＝7750 円、B は 30×250＝7500 円で、B の方が 250 円安い。400 kWh 使う家では、A は 25×400＋1500＝11500 円、B は 30×400＝12000 円で、A の方が 500 円安い。

4. 時間と道のりのグラフ

例題3　A さんは、家から 2400 m はなれた駅に向かって、分速 60 m で歩いて家を出た。B さんは、A さんが家を出てから 8分後に駅を出発し、分速 100 m で走って家に向かった。2人が出会うのは、A さんが家を出てから何分後で、家から何 m の所かを求めよう。

A さんが家を出てからの時間を x 分、家からの道のりを y m とする。

• A さん：家（y＝0）から分速 60 m で進むので、y＝60x（0≦x≦40）。
• B さん：y＝ax＋b とおく。家に近づくので、道のりは1分に 100 m ずつへる。a＝－100。x＝8 のとき y＝2400（駅）だから、2400＝－100×8＋b、b＝2400＋800＝3200。y＝－100x＋3200（8≦x≦32）。

発見2人のグラフは点 (20, 1200) で交わる。A さんが家を出てから 20分後に、家から 1200 m の所で出会う。

出会うのは、2人が同じ時刻に同じ場所にいるとき。グラフでいえば交点だね。式で求めると、60x＝－100x＋3200 から 160x＝3200、x＝20。そのとき y＝60×20＝1200。

確かめよう。20分後、A さんは 60×20＝1200 m 進んでいる。B さんは 8分後に出発したから、20－8＝12 分で 100×12＝1200 m 進み、駅から 1200 m、つまり家から 2400－1200＝1200 m の所にいる。2人とも家から 1200 m で、合っているね。

時間と道のりのグラフでは、傾きが速さを表している。A さんのグラフの傾き 60 は分速 60 m。B さんの傾き －100 は、分速 100 m で家に近づいている（道のりがへっている）ことを表しているよ。グラフの傾きが急なほど、速く動いているんだ。

5. 動く点と面積

例題4　下の図の長方形 ABCD で、AB＝6 cm、BC＝8 cm。点 P は B を出発して、辺 BC、CD、DA の上を通って A まで、毎秒 1 cm の速さで動く。P が B を出発してから x 秒後の三角形 ABP の面積を y cm² とする。

P が どの辺の上にいるかで、面積の求め方が変わるよ。P が A に着くのは、8＋6＋8＝22 秒後。

• P が辺 BC 上（0≦x≦8）：BP＝x cm。三角形 ABP は、底辺 BP、高さ AB＝6 cm だから、y＝12×x×6、つまり y＝3x。
• P が辺 CD 上（8≦x≦14）：底辺を AB＝6 cm と見ると、高さは P から辺 AB までの長さで、いつも BC＝8 cm。だから y＝12×6×8＝24。
• P が辺 DA 上（14≦x≦22）：AP＝(22－x) cm。三角形 ABP は、底辺 AP、高さ AB＝6 cm だから、12×6×(22－x)＝－3x＋66。

x と y の関係をグラフにしてみよう。

発見面積のグラフは、区間ごとに式がちがう、折れ線になる。はじめは増え、途中は一定、最後はへって 0 になる。

区間ごとに y＝ax＋b の形の式が変わるので、それぞれの区間でおき直して考えるんだ。まん中の区間の y＝24 は、x が変わっても y が変わらない関係で、a＝0 だから1次関数ではない。区間のつなぎ目では、x＝8 のとき y＝3×8＝24、x＝14 のとき y＝－3×14＋66＝24 と、両方の式で同じ値になって、グラフがつながっているね。

たとえば「面積が 12 cm² になるのは何秒後？」と聞かれたら、2つの区間それぞれで考える。0≦x≦8 では 12＝3x で x＝4。14≦x≦22 では 12＝－3x＋66 で 3x＝54、x＝18。答えは 4秒後と 18秒後の2つだよ。求めた x が、その区間の変域に入っているかも確かめよう（4 は 0≦x≦8、18 は 14≦x≦22 に入っている）。

6. 入口の問いにもどる

この単元の入口の問いを、もう一度見てみよう。

水そうに 5 L 入っている。毎分 3 L ずつ入れると、何分後に 80 L？

はじめは、1分ごとに表を書いていくしかないように見えたかもしれない。いまなら、「時間を x 分、水の量を y L とし、はじめの量 5 L が b、1分あたりの 3 L が a だから y＝3x＋5」と式にして、80＝3x＋5 を解けば 25分後と、1行でわかるね。

問いを少し変えても、同じ考え方で進められるよ。「5 L 入っている水そうに一定の割合で水を入れたら、10分後に 45 L になった。80 L になるのは何分後？」なら、a が問題文に書いていない。でも、2組 (0, 5)、(10, 45) から、45－510－0＝4 で a＝4、式は y＝4x＋5。80＝4x＋5 を解くと x＝754、つまり 18分45秒後だ。

わからない a と b を、場面の中の2つの手がかりで決める。それさえできれば、どんな時間の水の量も、どんな水の量になる時間も、先回りして予想できる。これが「y＝ax＋b とおく」ことの力なんだ。

これで、1次関数の解説はおしまい。問題集で、7つの段階を使っていろいろな場面を解いてみよう。中3では、変化の割合が一定ではない関数 y＝ax² に出会うよ。「y＝ax² とおく」ところから、また始めよう。