変化の割合

y の増え方は、
どこで調べても同じ？

1次関数 y＝ax＋b の a は、「x が 1 増えると、y が a 増える」ことを表していたね。では、x が 3 増えたら？ x が －2 から 5 まで増えたら？ いろいろな増え方をくらべられる「ものさし」を作ろう。

1. 増加量は「あと－まえ」

1次関数 y＝2x＋1 を例にしよう。y＝ax＋b で a＝2、b＝1 の場合だね。表にして、x を 1 から 4 まで増やしたとき、y がどう変わるかを見よう。

発見x が 1 から 4 まで 3 増えると、y は 3 から 9 まで 6 増える。y の増えた量は、x の増えた量の 2 倍になっている。

このように、x や y がどれだけ増えたかを表す量を増加量というよ。増加量は、いつも「あと の値 － まえ の値」で求める。

• x の増加量：4－1＝3
• y の増加量：9－3＝6

「まえ」と「あと」を入れかえて 1－4 と計算すると、－3 になってしまう。どちらが「まえ」かを先に決めてから、ひき算しよう。

へったときも、同じ「あと－まえ」で計算する。たとえば y が 7 から －5 に変わったら、y の増加量は －5－7＝－12。「12 へった」ことを「－12 増えた」と表すんだ。正負の数で学んだ、反対の性質を負の数で表す見方だね。

2. 変化の割合

x の増加量に対する y の増加量の割合を、変化の割合というよ。

ポイント（変化の割合）＝（y の増加量）÷（x の増加量）

y＝2x＋1 で、x が 1 から 4 まで増えるときの変化の割合は、y の増加量 6 を x の増加量 3 でわって、6÷3＝2。「x が 1 増えるあたり、y は 2 増える」という意味だよ。

わる順番に気をつけよう。「x の増加量あたり、y がどれだけ増えるか」なので、y の増加量をわられる数に、x の増加量をわる数にする。逆にわると、3÷6＝1/2 となって、ちがう数になってしまう。

では、ほかの所で調べても、変化の割合は 2 になるかな。予想してみよう。

グラフの上で、いろいろな所の増え方を調べてみよう。赤い点線の三角形は、横が x の増加量、たてが y の増加量を表しているよ。

発見y＝2x＋1 では、x が 1 から 2、－5 から －2、3 から 5 と、どこで調べても変化の割合は 2。これは y＝2x＋1 の x の係数 a＝2 と同じ。

3. 変化の割合は、いつも a

なぜ、どこで調べても同じになるのかな。y＝2x＋1 で、x が 1 から 4 まで増えるときを、計算しないで式のまま書いてみよう。

• x＝4 のとき　y＝2×4＋1
• x＝1 のとき　y＝2×1＋1

y の増加量は、(2×4＋1)－(2×1＋1)。＋1 どうしは、ひき算で消えてしまうね。残るのは 2×4－2×1、つまり 2×(4－1)。ここで 4－1 は x の増加量だから、

（y の増加量）＝ 2 ×（x の増加量）

となる。b（ここでは 1）は、y の値ぜんたいを同じだけ持ち上げているだけ。まえ でも あと でも同じだけ持ち上げているから、ひき算すると消える。増え方を決めているのは a だけなんだ。

ポイント1次関数 y＝ax＋b の変化の割合は一定で、a に等しい。

この関係は、次のように使うこともできるよ。

（y の増加量）＝ a ×（x の増加量）

a が負の数のときも調べておこう。1次関数 y＝－3x＋4 の表で、x を 1 から 3 まで増やしてみるよ。

発見y＝－3x＋4 で x が 1 から 3 まで 2 増えると、y は 1 から －5 まで変わり、y の増加量は －6。変化の割合は (－6)÷2＝－3 で、a＝－3 と同じ。

変化の割合が負の数のときは、x が増えると y はへる。「x が 1 増えるごとに y が 3 へる」ことを、変化の割合 －3 が表しているんだ。

a が分数のときはどうかな。y＝12x＋3 なら、変化の割合は 1/2。「x が 1 増えると y は 1/2 増える」は、言いかえると「x が 2 増えると y は 1 増える」。x が 4 増えれば y は 12×4＝2 増える。分数の変化の割合は、分母の数だけ x を増やすと、y の増え方が整数で見やすくなるよ。

x がへるときも、変化の割合は同じになる。y＝2x＋1 で x を 4 から 1 に変えると、x の増加量は 1－4＝－3、y は 9 から 3 に変わって増加量は 3－9＝－6。変化の割合は (－6)÷(－3)＝2。「あと－まえ」を守れば、x が増えても へっても、同じ a が出てくるよ。

4. 変化の割合を使う

例題1　1次関数 y＝－2x＋5 で、x が －1 から 3 まで増えるとき、y の増加量を求めよう。

【方法1：y の値を出してひく】x＝－1 のとき y＝－2×(－1)＋5＝7、x＝3 のとき y＝－2×3＋5＝－1。y の増加量は －1－7＝－8。

【方法2：変化の割合を使う】x の増加量は 3－(－1)＝4。変化の割合は a＝－2 だから、y の増加量は (－2)×4＝－8。

どちらも －8 になったね。方法2なら、y の値を1つも求めずに増加量がわかる。

例題2　1次関数で、x が 2 増えるごとに y が 6 増え、x＝0 のとき y＝－1 である。この1次関数の式を求めよう。

• おく：求める式を y＝ax＋b とおく。わからない数は a と b。
• 入れる・求める：変化の割合は 6÷2＝3。1次関数の変化の割合は a に等しいから、a＝3。x＝0 のとき y＝－1 だから、－1＝a×0＋b で b＝－1。
• 式にする：y＝3x－1
• 確かめる：x＝0 のとき y＝3×0－1＝－1、x＝2 のとき y＝3×2－1＝5。x が 2 増えて、y は －1 から 5 まで 6 増えている。合っているね。

例題3（分数・負の数）　ある1次関数は、x が 4 増えると y が 3 へる。また、x＝2 のとき y＝5 である。x＝10 のときの y の値を求めよう。

• おく：この1次関数を y＝ax＋b とおく。x が 4 増えると y は 3 へる（y の増加量は －3）から、変化の割合は (－3)÷4＝－34。だから a＝－3/4。
• 使う：x が 2 から 10 まで増えると、x の増加量は 10－2＝8。y の増加量は －34×8＝－6。y は 5 から 6 へって、5＋(－6)＝－1。
• 確かめる：式を作って確かめてみよう。x＝2 のとき y＝5 を y＝－34x＋b に入れると 5＝－32＋b で、b＝13/2。できた式 y＝－34x＋132 に x＝10 を入れると、y＝－34×10＋132＝－1。同じ答えになったね。

式を全部作らなくても、「変化の割合」と「わかっている1組」があれば、ほかの x のときの y が求められる。これも変化の割合の使いみちだよ。ただし、「変化の割合」と「y の増加量」を取りちがえないようにしよう。この例題の変化の割合は －3/4 で、「x が 8 増えるときの y の増加量」は －6。問題がどちらを聞いているかを、最後にもう一度読んで確かめよう。

例題4（場面）　はじめ 24 cm で、1分に 2 cm ずつ短くなるろうそくは、y＝－2x＋24 と表せた（解説1）。このときの変化の割合 －2 は、「1分あたりの長さの変わり方」、つまり、ろうそくが短くなる速さを表している。10分間で y は (－2)×10＝－20、つまり 20 cm 短くなる。場面の変化の割合は、「1あたりの量」や「速さ」として読めることが多いよ。

5. 1次関数ではない関数とくらべる

比例 y＝ax も1次関数（b＝0）だから、変化の割合は一定で a。では、1次関数ではない反比例 y＝12x ではどうだろう。予想してみよう。

表でくわしく見てみよう。

x が 1 から 2 まで増えると y は 6 へる（変化の割合 －6）。2 から 3 では 2 へる（－2）。3 から 4 では 1 へる（－1）。1 から 3 までなら、y の増加量は 4－12＝－8 で、変化の割合は －8÷2＝－4。反比例では、どこで調べるかによって変化の割合が変わってしまう。

この見方を使うと、表を見て、1次関数とみてよいかどうかを確かめられるよ。となりどうしの列で変化の割合を計算して、どれも 0 でない同じ数 になっているかを見ればいい。

x が 1 から 3 では 11－53－1＝3、3 から 4 では 14－114－3＝3、4 から 7 では 23－147－4＝3。x の間かくがばらばらでも、変化の割合はどれも 3 だね。a＝3 とすると、x＝1 のとき y＝5 から 5＝3×1＋b、b＝2。表の4組は、どれも y＝3x＋2 に合っている。だから、この表の範囲では、1次関数 y＝3x＋2 とみてよい。

ただし、表にあるのは4組だけ。表にない x のときも同じ割合で変わるかどうかは、表の数だけでは決まらない。問題文の「1次関数である」「一定の割合で変わる」といった言葉で確かめてから、式を使おう。

反対に、x が 1、2、3、4 のとき y が 1、4、9、16 となる表では、変化の割合は 3、5、7 と変わっていく。これは1次関数ではない（y＝x² の表だよ）。x の間かくがそろっていないときは、y の増え方だけを見ずに、かならず x の増加量でわってくらべよう。

変化の割合が、どこでも 0 だったらどうかな。x が変わっても y がいつも同じ値、たとえば y＝4 のような関数だ。変化の割合は一定だけれど、y＝0x＋4 と見ると a＝0 なので、1次関数ではない（解説6で見る y＝k の形だよ）。

変化の割合がどこでも同じで、しかも 0 でない。これは、1次関数だけがもつ大事な特徴なんだ。中3で学ぶ関数 y＝x² は、変化の割合が一定ではない関数だよ。そのときは、「どこからどこまで」を決めてから変化の割合を求めることになる。

次は、1次関数のグラフを調べよう。変化の割合 a は、グラフでは「傾き」として見えてくるよ。