1次関数のグラフ

y＝2x＋3 のグラフは、
y＝2x のグラフとどんな関係？

中1では、比例 y＝ax のグラフが原点を通る直線になることを学んだね。1次関数 y＝ax＋b のグラフは、どんな形になるかな。b は、グラフのどこに現れるんだろう。

1. 点をとって調べる

1次関数 y＝2x＋3 のグラフを調べよう。y＝ax＋b で a＝2、b＝3 の場合だね。比例 y＝2x の値といっしょに表にしてみるよ。

どの x でも、2x＋3 の値は 2x の値より 3 大きいね。では、グラフではどうなるかな。予想してから、図を動かしてみよう。

発見y＝2x＋3 のグラフは、y＝2x のグラフを、y 軸の正の方向に 3 だけ平行移動した直線。

y＝2x のグラフ上のどの点も、y 座標を 3 だけ大きくすると、y＝2x＋3 のグラフ上の点になる。すべての点が同じだけ上にずれるので、まっすぐな線は、まっすぐなまま平行に動くんだ。

このことは、どんな1次関数でもいえるよ。

ポイント1次関数 y＝ax＋b のグラフは、比例 y＝ax のグラフを、y 軸の正の方向に b だけ平行移動した直線。

b が負の数なら、下に動かすことになる。たとえば y＝2x－4 のグラフは、y＝2x のグラフを下に 4 だけ平行移動した直線だよ。「y 軸の正の方向に －4 だけ平行移動する」と言ってもいい。

2. 傾きと切片

グラフの上で、a と b がどこに見えるかを確かめよう。

b は、y 軸との交点に現れる。 y＝ax＋b に x＝0 を入れると、y＝a×0＋b で y＝b。だから、グラフはかならず点 (0, b) を通る。この点は y 軸の上にあるね。y＝ax＋b のグラフが y 軸と交わる点の y 座標 b を、グラフの切片というよ。

a は、直線の傾きぐあいに現れる。 解説3で、1次関数の変化の割合はいつも a だと学んだね。グラフでいうと、「右へ 1 進むと、上へ a 進む」。右へ 2 進めば上へ 2a、右へ 3 進めば上へ 3a。どこで調べても同じ割合で上がるから、グラフはまっすぐな線になる。この a を、直線の傾きというよ。

a が負の数のグラフで、切片と傾きを1歩ずつ確かめてみよう。

発見y＝－2x＋3 のグラフは、点 (0, 3) を通り、右へ 1 進むと下へ 2 進む直線。切片は 3、傾きは －2。

ポイント1次関数 y＝ax＋b のグラフは、傾きが a、切片が b の直線。

ここで、3つの言葉が同じ数 a を指していることを確かめておこう。

式・表・グラフのどこから見ても、a は「x が 1 増えるときの y の増え方」なんだ。

3. 傾きで決まること

傾き a を見ると、直線のようすがわかるよ。「右へ 1 進むと上へ a」を思い出して、予想してみよう。

• a＞0 のとき：x が増えると y も増える。グラフは右上がりの直線。
• a＜0 のとき：x が増えると y はへる。グラフは右下がりの直線。
• a の絶対値が大きいほど：傾きが急になる。y＝3x は y＝x より急で、y＝12x はゆるやか。右下がりでも同じで、y＝－3x＋1 は y＝－x より急だよ。
• a が同じで b がちがえば：傾きが同じなので、直線は平行になる（b も同じなら、同じ直線）。

b の符号も、グラフの位置に現れる。b＞0 なら y 軸と原点より上で交わり、b＜0 なら原点より下で交わる。b＝0 なら原点を通る（比例）。だから、グラフを見れば a と b の符号がわかるよ。たとえば、右下がりで、y 軸と原点より上で交わる直線なら、a＜0、b＞0 だね。反対に、式を見れば、かく前にグラフのおおよその形が予想できる。y＝－3x－2 なら、右下がりで、y 軸と原点より下の (0, －2) で交わる直線だ。

傾きが同じで切片がちがう直線をならべると、平行な直線が何本もできるよ。

3本とも傾きは 1/2 で、y 軸と交わる所（切片）だけがちがう。どれも y＝12x のグラフを上下に平行移動したものだね。反対に、切片が同じで傾きがちがう直線は、みんな y 軸上の同じ点 (0, b) を通って、ちがう向きにのびていく。

4. グラフのかき方

1次関数のグラフは直線だから、通る点が2つわかればかける。いちばん使いやすいのは、切片と傾きを使う方法だよ。

1. 切片 b から、点 (0, b) をとる。
2. そこから、傾き a を使って、右へ 1 進んで上へ a 進んだ点をとる（a が負なら下へ）。a が分数なら、分母の数だけ右へ進むと、座標が整数の点が見つかる。
3. 2つの点を通る直線をひく。

例題1　y＝23x＋1 のグラフをかこう。

y＝ax＋b とくらべると、傾き a＝2/3、切片 b＝1。傾きが分数のときは、「右へ 1 進むと上へ 2/3」だと、目もりの上に点がとれない。そこで、「右へ 3 進むと上へ 2」と考えるよ。

発見点 (0, 1) から、右へ 3、上へ 2 進んだ点 (3, 3) を通る。2点を結ぶと、y＝(2/3)x＋1 のグラフになる。

かけたら、もう1点で確かめよう。点 (0, 1) から左へ 3、下へ 2 進んだ点 (－3, －1) も、グラフの上にあるはずだね。式に x＝－3 を入れると y＝23×(－3)＋1＝－1。合っている。

例題2　y＝－3x＋5 のグラフをかこう。

切片は 5 だから、点 (0, 5) をとる。傾きは －3 だから、そこから右へ 1、下へ 3 進んで点 (1, 2)。さらに右へ 1、下へ 3 で点 (2, －1)。3点が一直線に並んでいれば、正しくかけているよ。

例題3　y＝－12x－2 のグラフをかこう。

切片は －2 だから、点 (0, －2) をとる。傾きは －1/2。分母が 2 なので「右へ 2 進むと、下へ 1」と考えて、点 (2, －3) をとる。反対向きに「左へ 2 進むと、上へ 1」で点 (－2, －1) も通る。傾きが負の分数のときは、右へ進むなら下へ、左へ進むなら上へ、と向きをそろえよう。

かくときに、よく起きるまちがいが2つあるよ。

• 傾きを「上へ 1、右へ a」と進んでしまう：傾き 2 の直線を、(0, b) から「上へ 1、右へ 2」とかくと、傾きが 1/2 の直線になってしまう。傾きは「右へ 1 進んだときに、上下へいくつ進むか」。いつも横（x）を先に決めて、次にたて（y）を読もう。
• 切片を x 軸との交点だと思う：y＝2x－4 のグラフは、x 軸と点 (2, 0) で交わる。でも切片は 2 ではなく、y 軸と交わる点 (0, －4) の －4。切片は、かならず y 軸（x＝0 の線）の上で読むよ。

かいたグラフが正しいか迷ったら、グラフの上の点を1つ選んで、その座標を式に入れてみよう。等式が成り立てば正しくかけている。

切片が大きすぎたり分数だったりして y 軸の上にとりにくいときは、x に計算しやすい数を2つ入れて、2点をとってもいい。たとえば y＝12x＋52 なら、x＝1 のとき y＝3、x＝－1 のとき y＝2 で、点 (1, 3) と (－1, 2) を結べばいい。

5. 変域のあるグラフ

場面の1次関数では、x の変域が決まっていることが多い。そのときのグラフは、直線の一部分（線分）になるよ。

例題4　y＝2x＋1（－1≦x＜2）のグラフと、y の変域を考えよう。

x＝－1 のとき y＝2×(－1)＋1＝－1、x＝2 のとき y＝2×2＋1＝5。グラフは、点 (－1, －1) から点 (2, 5) までの線分になる。x＝－1 はふくむので、はしの点は ●（ぬりつぶす）。x＝2 はふくまないので、はしの点は ○（ぬかない）。

傾きが正なので、x が増えると y も増える。だから、y の変域は x の変域の両はしの値で決まって、－1≦y＜5。y＝5 はふくまないことに気をつけよう。

傾きが負のときは、注意がいるよ。y＝－2x＋3（－1≦x≦2）なら、x＝－1 のとき y＝－2×(－1)＋3＝5、x＝2 のとき y＝－2×2＋3＝－1。x が増えると y はへるので、x の左はしで y がいちばん大きく、右はしでいちばん小さくなる。y の変域は －1≦y≦5。「x＝－1 のときの値が左、x＝2 のときの値が右」と機械的にならべて「5≦y≦－1」と書かないように、小さい方から書こう。グラフを思いうかべると、まちがえにくいよ。

1次関数のグラフはまっすぐなので、y がいちばん大きく（小さく）なるのは、かならず変域の両はしだよ（そのはしを変域にふくむとき。例題4のように x＝2 をふくまないときは、y は 5 に近づくけれど 5 にはならない）。中3で学ぶ y＝x² のグラフは曲がっているので、途中でいちばん小さくなることがある。この点も、1次関数のよい性質なんだ。

次は、グラフや条件から1次関数の式を求める方法を見ていこう。わからない a と b を、何で決めるかがポイントだよ。