7つの段階：y＝ax＋b とおく

水そうに 5 L 入っている。
毎分 3 L ずつ入れると、何分後に 80 L？

1分ごとに表を書いていくと、80 L になるまで何十列も書くことになるね。こういうときは、x と y の関係を式にしてしまおう。

1次関数の問題は、いつも同じ順番で考えるよ。問題が変わっても、順番と言葉は変わらない。

1. 図：わかっている数と、求める「？」を表や図にする
2. おく：x と y が何の量かを1文で書き、y＝ax＋b とおく
3. 入れる：わかっている x と y の組を、おいた式に入れる
4. 求める：a と b を求める
5. 式にする：求めた a と b を戻して、関係を式にする
6. 使う：式に x（や y）を入れて、聞かれた数を求める
7. 確かめる：はじめの組に戻して確かめ、問いに答える

中1の比例では「y＝ax とおく」から始めたね。わからない数は a の1つだけだった。1次関数では「y＝ax＋b とおく」。わからない数が a と b の2つになるところが、比例とのいちばんのちがいだよ。

1次方程式の「7つの段階」を学んだ人は、「x とおく」を思い出してね。わからない数に名前をつけて、式を作ってから求める。関数でも、考え方は同じなんだ。

水そうに水が 5 L 入っています。この水そうに、毎分 3 L ずつ水を入れていきます。水そうの水の量が 80 L になるのは、水を入れはじめてから何分後ですか。

1. 図

まず、わかっている数と、求める「？」を表にしよう。まだ x や式は使わないよ。「▶ 動かす」で、1つずつ書きこんでいこう。

時間と水の量は、ともなって変わる2つの量だね。時間を決めると、水の量がただ1つに決まる。

表をよく見ると、問題文の中に大事な数が2つあることがわかる。「はじめ（0分）の 5 L」と「1分に増える 3 L」だよ。この2つが、このあとの「おく」「入れる」の手がかりになる。

2. おく

x と y が何の量かを1文で書いて、関係の形を決めよう。

水を入れはじめてからの時間を x 分、水そうの水の量を y L とする。

どちらを x にするかは、ふつう「先に決める量」を x、「それにつれて決まる量」を y にするよ。ここでは、時間を決めると水の量が決まるから、時間が x、水の量が y だね。問題文で「x 分後の水の量を y L とする」と決められているときは、そのとおりにしよう。

では、x と y の関係は、どの形でおけるかな。

水の量は、1分に 3 L ずつ、いつも同じだけ増える（増え方が一定）。そして、x＝0 のとき y＝5 で、0 ではない。だから、比例 y＝ax ではなく、

y＝ax＋b とおく。

ここがいちばん大事なところ！ a と b は「まだわからない数」だよ。1次方程式で、わからない数を x とおいたのと同じ。1次関数では、わからない数が a と b の2つあるんだ。

わからない数が2つあるときは、決めるための手がかりも2つ要る。この問題では「はじめに 5 L」と「毎分 3 L」の2つが、その手がかりだね。問題文の言葉と、表・式をつなげておこう。

「増え方が一定（0 でない同じ量ずつ）かどうか」と「x＝0 のときの y が 0 かどうか」。この2つを見れば、y＝ax とおくか、y＝ax＋b とおくかを決められるよ。

3. 入れる

わかっている x と y の組を、おいた式に入れよう。

表から、x＝0 のとき y＝5。y＝ax＋b に代入すると、

5＝a×0＋b

もう1組、x＝1 のとき y＝8（はじめの 5 L に、1分で 3 L 増えた）。これも代入すると、

8＝a×1＋b

x と y を逆に入れないように気をつけよう。x は時間、y は水の量だったね（「2. おく」の1文を見よう）。「x＝0 のとき y＝5」を、「x に 5、y に 0」と入れてしまうのが、よくあるまちがいだよ。

4. 求める

1つめの式から見よう。a×0 は、a がどんな数でも 0 だね。だから、

b＝5

b＝5 を2つめの式に入れると、8＝a＋5。両辺から 5 をひいて、

a＝8－5＝3

a＝3 は「1分あたり 3 L ずつ増える」ということ、b＝5 は「はじめ（0分）の水の量が 5 L」ということ。問題文の2つの数が、そのまま a と b になったね。

発見y＝ax＋b の b は x＝0 のときの y（はじめの量）、a は x が 1 増えるときの y の増え方（1あたりの量）。場面から、a と b を直接読むこともできる。

慣れてきたら、「3. 入れる」「4. 求める」は、場面から直接「a＝3、b＝5」と読んでいいよ。問題集では、この読み方を「場面から読む」とよんでいる。ただし、なぜそう読めるのかは、いまの代入で説明できるようにしておこう。「x＝0 を入れると ax が消えて b だけ残る」から b がはじめの量になり、「x が 0 から 1 に増えると ax が a だけ増える」から a が1あたりの量になるんだ。

5. 式にする

求めた a と b を、おいた式に戻そう。

a＝3、b＝5 を y＝ax＋b に戻すと、

y＝3x＋5

これで、時間と水の量の関係が1つの式になった。どんな時間でも、この式に入れれば水の量がわかるし、どんな水の量でも、何分後かがわかる。

式をグラフにすると、下のような直線になるよ。80 L になる時間を、グラフでもさがしてみよう。

6. 使う

聞かれているのは「80 L になるのは何分後か」。つまり、y＝80 のときの x を求めればいいね。y＝3x＋5 に y＝80 を代入すると、

80＝3x＋5

これは、x についての1次方程式（中1で学んだ形）だよ。5 を移項して、

3x＝80－5＝75

両辺を 3 でわって、

x＝75÷3＝25

x＝25。25分後だね。グラフで見つけた点 (25, 80) と合っている。

x から y を求めるときは、代入して計算するだけ。y から x を求めるときは、代入してから1次方程式を解く。どちらも同じ1つの式から求められる。これが「式にする」よさだよ。

7. 確かめる

求めた答えを式に戻し、はじめの組でも確かめよう。

x＝25 を y＝3x＋5 に入れると、y＝3×25＋5＝80。80 L になっているね。

はじめの組 x＝0 も入れてみよう。y＝3×0＋5＝5。問題の「はじめに 5 L」と合っている。

場面にも戻そう。25分で入れた水は 3×25＝75 L。はじめの 5 L と合わせて 75＋5＝80 L。問題とぴったり合うね。

確かめは、計算のまちがいを見つけるためだけのものではないよ。問題文の条件を式が本当に満たしているかを見ることで、「おく」や「入れる」のまちがいにも気づける。たとえば、a と b を取りちがえて y＝5x＋3 と書いていたら、x＝0 を入れると 3 になって、「はじめに 5 L」と合わない。はじめの組に戻すのは、そのためなんだ。

答え　25分後

発見x と y の関係を y＝ax＋b とおき、2つの手がかりで a と b を決めれば、どんな x に対しても y が、どんな y に対しても x が1行で求められる。

8. もう1問：へっていく場面

へっていく場面でも、7つの段階は同じだよ。こんどは、はじめの量と、もう1組の値から a と b を求める。

長さ 18 cm のろうそくに火をつけたら、4分後に 12 cm になりました。ろうそくは一定の割合で短くなるものとします。長さが 3 cm になるのは、火をつけてから何分後ですか。

図：わかっている数と「？」を表にする。

おく：火をつけてからの時間を x 分、ろうそくの長さを y cm とする。一定の割合で短くなり、x＝0 のとき y＝18（0 ではない）から、y＝ax＋b とおく。

入れる：x＝0 のとき y＝18 だから 18＝a×0＋b。x＝4 のとき y＝12 だから 12＝a×4＋b。

求める：1つめの式から b＝18。これを2つめの式に入れると 12＝4a＋18。18 を移項して 4a＝12－18＝－6、両辺を 4 でわって a＝－6÷4＝－32。a が負の数になったのは、ろうそくが短くなっていくからだね。1分に 3/2 cm（1.5 cm）ずつ短くなるということだよ。

式にする：a＝－3/2、b＝18 を戻して、y＝－32x＋18。

使う：y＝3 を代入すると 3＝－32x＋18。18 を移項して －32x＝3－18＝－15。両辺を －3/2 でわって x＝(－15)÷(－32)＝10。

確かめる：x＝10 を入れると y＝－32×10＋18＝3。はじめの組 x＝4 も入れると y＝－32×4＋18＝12。どちらも合っている。場面に戻すと、10分で 1.5×10＝15 cm 短くなり、18－15＝3 cm。

答え　10分後

このろうそくは、y＝0 になる 12分後に燃えつきる。だから、この式が場面を表しているのは 0≦x≦12 のあいだだけだよ。答えの 10分後は、その中に入っているね。

自分でやってみよう

はじめの水そうの例題は、問題集の 1次関数の場面 001 にあるよ。「ヒントをひとつずつ見る」を選ぶと、7つの段階を1つずつ開きながら進められる。

答えが出たら、次の3つを自分に聞いてみてね。

• なぜ y＝ax＋b とおいてよいと言えるのか（y＝ax ではないのはなぜか）
• a と b を決めた2つの手がかりは、問題文のどこか
• はじめの組に戻すと、本当に合っているか