1次関数ってなに？

はじめから 5 L 入っている水そう。
水の量は、時間に比例する？

ぼくは まるくん。中1では、比例 y＝ax を学んだね。中2では、そこに「はじめの量」がついた関係を考えるよ。出発点は「y＝ax＋b とおく」ことなんだ。

1. 比例では表せない水そう

水そうに、はじめから水が 5 L 入っているよ。ここに、1分間に 3 L ずつ水を入れていく。

水を入れはじめてからの時間を x 分、水そうの水の量を y L とする。時間 x を決めると、水の量 y はただ1つに決まるね。だから、y は x の関数だよ（中1で学んだ「関数」の意味）。

では、水の量 y は、時間 x に比例しているかな。表を作る前に、予想してみよう。

表にして確かめよう。下の「▶ 動かす」を押してね。

発見x が1増えるごとに、y はいつも 3 ずつ増える。でも、x＝0 のとき y は 0 ではなく 5。x が2倍になっても、y は2倍にならない。

比例なら、x が2倍、3倍になると、y も2倍、3倍になるはずだね。この水そうでは、x が 1 から 2 に2倍になっても、y は 8 から 11 になるだけで、2倍の 16 にはならない。x＝0 のとき y＝0 にもなっていない。

だから、この水そうの水の量は、時間に比例していない。でも、「1分に 3 L ずつ、いつも同じだけ増える」ところは、比例とそっくりだね。どこが同じで、どこがちがうのか。式にして調べていこう。

2. 式にしてみよう

x 分後の水の量を、言葉で組み立ててみよう。水の量は、次の2つを合わせたものだね。

• 入れた水：1分に 3 L ずつ、x 分入れたから 3×x（L）
• はじめからあった水：5 L

だから、x 分後の水の量 y L は、

y＝3x＋5

たとえば 4 分後なら、y＝3×4＋5＝17。表の 17 と合っているね。10 分後なら y＝3×10＋5＝35。表を 10 分まで書かなくても、式に入れるだけでわかる。

この式を、比例の式 y＝3x とならべてみよう。x が同じとき、y はどうちがうかな。

発見y＝3x＋5 の y は、比例 y＝3x の y に、いつも 5 をたした値。x が 1 増えるごとに 3 ずつ増えるところは比例と同じで、ちがうのは「はじめの量」5 だけ。

式の右側 3x＋5 は、2つの部分でできているよ。

• 3x：x に比例する部分（時間とともに増えていく水）
• 5：x に関係なく、いつも同じ部分（はじめからある水）

「比例する部分」と「いつも同じ部分」をたしたもの。これが、この単元で学ぶ関係の正体なんだ。

3. 1次関数という名前

y＝3x＋5 のように、y が x の1次式で表されるとき、y は x の1次関数であるというよ。

1次式は、中1の「文字と式」で学んだね。3x のように1次の項（x の項）だけの式や、3x＋5 のように1次の項と数の項の和の式のこと。x² のような2乗の項は入らない。

一般に、1次関数は、a と b を定数（決まった数）として、

y＝ax＋b

と表される。a は x の係数、b は数の項だよ。ただし、a は 0 ではない。a＝0 だと y＝0x＋b、つまり y＝b となって、x の項が消えてしまうからね。

ポイントy が x の1次式 y＝ax＋b（a≠0）で表されるとき、y は x の1次関数であるという。

a と b は、関数ごとに決まっている数（定数）。水そうの例では a＝3、b＝5 だね。それぞれの意味を、表とつなげておこう。

「y＝ax＋b とおく」とは、「a と b はまだわからないけれど、x と y はこの形の関係だ」と決めることだよ。わからない数は a と b の2つ。何がわかれば a と b が決まるのか。これが、この単元のまん中の問いなんだ。

比例 y＝ax では、わからない数は a の1つだけだったね。1次関数では a と b の2つ。だから、決めるための手がかりも2つ要るよ。このことは、解説2と解説5でくわしく見ていくよ。

4. 比例は1次関数のなかま

y＝ax＋b で、b＝0 のときを考えよう。y＝ax＋0、つまり y＝ax。これは中1で学んだ比例の式だね。

からっぽの水そう（はじめの水が 0 L）に毎分 3 L ずつ入れるなら、水の量は y＝3x。これは比例で、同時に、b＝0 の1次関数でもある。

ポイント比例 y＝ax は、1次関数 y＝ax＋b の b＝0 の場合。比例は1次関数のなかまだよ。

反対に、1次関数がいつも比例になるとはかぎらない。b が 0 でなければ、x＝0 のとき y は 0 にならないし、x を2倍しても y は2倍にならない。はじめの水そうの例が、そうだったね。

では、比例のほかに、どんな式が1次関数になるのかな。次の式の中から、1次関数ではないものを選んでみよう。

反比例 y＝12x の右側は「12 を x でわる」式で、1次式ではない。だから、反比例は1次関数ではないよ。見分けるときは、式を「y＝（x の何倍か）＋（数）」の形に書けるかどうかを見よう。

式の形が少しちがって見えても、変形すると y＝ax＋b の形になるものは1次関数だよ。

• y＝5－2x は、項の順番を入れかえると y＝－2x＋5。a＝－2、b＝5。「先に書いてある数が a」ではないので気をつけよう。
• y＝x＋42 は、12x＋2 と同じ。a＝1/2、b＝2。
• y＝3(x－1) は、かっこをはずすと y＝3x－3。a＝3、b＝－3。

a は「x の係数」、b は「数の項」。式を y＝ax＋b の形に整理してから読もう。

5. 身のまわりの1次関数

1次関数は、「はじめの量」があって、そこから「一定の割合」で増えたり、へったりする場面にあらわれるよ。

ろうそく：長さ 24 cm のろうそくに火をつけると、1分に 2 cm ずつ短くなるとする。火をつけてからの時間を x 分、ろうそくの長さを y cm として、表で追いかけてみよう。

発見x が1増えるごとに、y は 2 ずつへる。はじめの長さは 24 cm。

はじめの量があって、そこから一定の割合でへっていく。だから、ここでも y＝ax＋b とおくところから始めよう。a と b は、まだわからない数だね。

• a を読む：a は、x が 1 増えるごとに増える y の量。1分に 2 cm ずつ短くなるのは、「1分に －2 cm ずつ増える」と考えられるから、a＝－2。
• b を読む：b は、x＝0 のときの y の値。火をつける前の長さだから、b＝24。
• 式にする：y＝－2x＋24。
• 確かめる：x＝3 を入れると y＝－2×3＋24＝18。表の 3分後の長さ 18 cm と合っているね。

へっていく場面では、a が負の数になるよ。

ろうそくは、24÷2＝12 で、12分後に燃えつきる。x＝13 を式に入れると y＝－2×13＋24＝－2 になるけれど、長さが －2 cm のろうそくはないね。場面の1次関数は、x がとりうる範囲（変域）の中だけで使える。このろうそくなら 0≦x≦12 だよ。

ばね：何もつるさないときの長さが 12 cm のばねがある。10 g のおもりをつるすごとに、2 cm ずつのびるとする。おもりの重さを x g、ばねの長さを y cm として、ここでも y＝ax＋b とおこう。a は 1 g あたりにのびる長さで、2÷10＝0.2 だから a＝0.2。b は何もつるさないときの長さで、b＝12。式は y＝0.2x＋12。a は小数でもいいんだ。ただし、重すぎるおもりをつるすと、ばねはのびきって元にもどらなくなる。この式が使えるのは、ばねがのびすぎない範囲だけだよ。

1次関数ではない例も見ておこう。

• 1辺が x cm の正方形の面積 y cm²：y＝x²。x が 1 増えても、y の増え方は同じではない。
• 面積が 12 cm² の長方形のたて x cm と横 y cm：y＝12x（反比例）。

どちらも y は x の関数だけれど、1次関数ではないね。「1あたり同じだけ増える（へる）」かどうかが、見分けるポイントだよ。

次は、1次関数の問題をいつも同じ順番で解く「7つの段階」を見ていこう。出発点は「y＝ax＋b とおく」ことだよ。