式の求め方

(1, 5) と (3, 11) を通る直線。
式はどう決まる？

1次関数の式は y＝ax＋b。わからない数は a と b の2つだったね。では、いくつのことがわかれば、式が1つに決まるかな。

1. 条件はいくつ要る？

1次関数の式を求めるときも、出発点は「y＝ax＋b とおく」ことだよ。あとは、a と b を決める手がかりを問題から見つければいい。では、手がかりはいくつ要るのかな。

「傾きが －2」だけでは、式は決まらない。図で確かめよう。

発見傾きが同じ直線は、平行にいくらでもある。傾きだけでは1本に決まらない。通る点が1つわかると、その中から1本に決まる。

わからない数が a と b の2つあるから、決めるための手がかり（条件）も、ふつう2つ要る。1次関数の式の求め方は、どの2つがわかっているかで、次のように分けられるよ。

どの場合も、「y＝ax＋b とおく → わかっている数を入れる → a と b を求める → 式にする → 確かめる」の順番は同じだよ。

問題文では、同じことがいろいろな言い方で書かれているよ。言いかえを知っておくと、どれが a の手がかりで、どれが b の手がかりかを見分けやすい。

とくに3行目に気をつけよう。x 軸と交わる点は、y 軸と交わる点（切片）とはちがう。(4, 0) は「通る1点」として代入するんだ。

2. 傾きと1点から

例題1　傾きが －2 で、点 (3, 1) を通る直線の式を求めよう。

• おく：求める直線の式を y＝ax＋b とおく。
• 入れる：傾きが －2 だから a＝－2。式は y＝－2x＋b になる。点 (3, 1) を通るから、x＝3、y＝1 を代入して、1＝－2×3＋b。
• 求める：1＝－6＋b だから、b＝1＋6＝7。
• 式にする：y＝－2x＋7
• 確かめる：x＝3 を入れると y＝－2×3＋7＝1。点 (3, 1) を通っているね。切片 7 は、上の図で見つけた点 (0, 7) と合っている。

例題2　変化の割合が 3 で、x＝2 のとき y＝1 である1次関数の式を求めよう。

「変化の割合が 3」は「a＝3」と同じことだね。y＝3x＋b に x＝2、y＝1 を代入すると、1＝3×2＋b。b＝1－6＝－5 だから、y＝3x－5。確かめると、x＝2 のとき y＝3×2－5＝1。合っている。

例題3（平行な直線）　直線 y＝－x＋4 に平行で、点 (－3, 5) を通る直線の式を求めよう。

平行な直線は傾きが等しいから、a＝－1。y＝－x＋b に x＝－3、y＝5 を代入すると、5＝－(－3)＋b、つまり 5＝3＋b で、b＝2。式は y＝－x＋2。確かめると、x＝－3 のとき y＝－(－3)＋2＝5。

負の数を代入するときは、かっこをつけて (－3) と書こう。－x に x＝－3 を入れると、－(－3)＝＋3 になる。かっこを忘れると、符号をまちがえやすいよ。

3. 2点から（変化の割合を使う）

例題4　2点 (1, 5)、(3, 11) を通る直線の式を求めよう。

2点がわかっているときは、まず変化の割合で傾き a を求めるのが近道だよ。図で見てみよう。

発見x が 1 から 3 まで 2 増えると、y は 5 から 11 まで 6 増える。変化の割合は 6÷2＝3。点 (1, 5) から左へ 1、下へ 3 もどると、切片の点 (0, 2) に着く。

• おく：求める直線の式を y＝ax＋b とおく。
• 求める（a）：変化の割合は 11－53－1＝62＝3。1次関数の変化の割合は a に等しいから、a＝3。
• 入れる：y＝3x＋b に、点 (1, 5) の x＝1、y＝5 を代入して、5＝3×1＋b。
• 求める（b）：b＝5－3＝2
• 式にする：y＝3x＋2
• 確かめる：使っていない方の点 (3, 11) を入れよう。y＝3×3＋2＝11。合っている。

確かめるときは、b を求めるのに使わなかった方の点を入れるのがこつだよ。使った点は、合うように b を決めたのだから、かならず合うんだ。

例題5（負の数・分数）　2点 (－2, 7)、(4, －2) を通る直線の式を求めよう。

• 求める（a）：x の増加量は 4－(－2)＝6、y の増加量は －2－7＝－9。変化の割合は －96＝－32。だから a＝－3/2。
• 入れる：y＝－32x＋b に、x＝－2、y＝7 を代入して、7＝－32×(－2)＋b。
• 求める（b）：－32×(－2)＝3 だから 7＝3＋b で、b＝4。
• 式にする：y＝－32x＋4
• 確かめる：x＝4 を入れると y＝－32×4＋4＝－2。点 (4, －2) を通っている。

増加量はどちらも「あと－まえ」。x と y で、まえ・あとをそろえることが大事だよ。x を「4－(－2)」と計算したなら、y も「(4 のときの y)－(－2 のときの y)」で、－2－7 と計算する。

4. 2点から（連立方程式を使う）

例題4の 2点 (1, 5)、(3, 11) を、こんどは連立方程式で求めてみよう。

y＝ax＋b に、2点の座標をそれぞれ代入すると、a と b についての式が2つできる。

5＝a＋b　…①

11＝3a＋b　…②

わからない数が2つで、式も2つ。中2で学んだ連立方程式だね。②－① で b を消すと、

6＝2a　だから　a＝3

a＝3 を①に代入すると、5＝3＋b で b＝2。式は y＝3x＋2。変化の割合で求めたときと同じになったね。

ここで、②－① の計算をよく見てみよう。左辺は 11－5、つまり y の増加量。右辺は 3a－a、つまり a×(x の増加量)。

発見連立方程式で②－①をすると、b が消えて「（y の増加量）＝ a ×（x の増加量）」が出てくる。変化の割合で求める方法と、連立方程式で求める方法は、同じことを別の書き方でしている。

2つの方法は、どちらを使ってもいいよ。

• 変化の割合を使う方法：計算が短い。グラフや場面で「1あたりの量」を考えるときにも使いやすい。
• 連立方程式を使う方法：y＝ax＋b に代入するだけで式が立つので、手順がはっきりしている。数が分数や負の数でも、同じ手順で進められる。

どちらで求めても、最後に2点とも式に入れて確かめよう。

5. 切片と1点から、グラフから

例題6　グラフが y 軸と点 (0, －3) で交わり、点 (2, 5) を通る直線の式を求めよう。

y 軸と交わる点の y 座標が切片だから、b＝－3。y＝ax－3 に x＝2、y＝5 を代入して、5＝2a－3。2a＝5＋3＝8 だから a＝4。式は y＝4x－3。確かめると、x＝2 のとき y＝4×2－3＝5。

グラフから式を読むときは、まず切片、次に傾きを読むよ。傾きは、グラフが目もりの交わる点（格子点）をぴったり通る所を2つ見つけて、そのあいだの「横の進み」と「たての進み」から求める。

発見切片は 3。点 (0, 3) から点 (3, 1) まで、右へ 3 進むと下へ 2 進む。傾きは －2/3。式は y＝－(2/3)x＋3。

目もりの読みにくい所で読むと、まちがえやすい。格子点を選ぶのがこつだよ。切片が格子点にないときは、格子点を2つ読んで、例題4・5のように2点から求めよう。

例題7（表から）　1次関数の表の一部が、次のようになっている。式を求め、表の空らんをうめよう。

表の2つの列は、2点 (－1, 8)、(2, －1) と同じこと。変化の割合は －1－82－(－1)＝－93＝－3 で a＝－3。8＝－3×(－1)＋b から b＝8－3＝5。式は y＝－3x＋5。空らんは x＝5 のときだから、y＝－3×5＋5＝－10。

確かめに、x が 2 から 5 まで 3 増えるとき、y の増加量は (－3)×3＝－9。－1 から 9 へって －10。合っているね。

求めた式を使って、点が直線の上にあるかを調べることもできるよ。点の座標を式に入れて、等式が成り立てば直線の上、成り立たなければ直線の上にはない。たとえば、y＝－3x＋5 に点 (4, －7) を入れると、－3×4＋5＝－7 で成り立つので、直線の上にある。点 (1, 3) なら、－3×1＋5＝2 で y 座標の 3 と合わないので、直線の上にはないね。

代入するときに、x と y を取りちがえないように気をつけよう。点 (－1, 8) の x 座標は －1、y 座標は 8。y＝ax＋b の x に －1、y に 8 を入れる。「(x, y) の順」と「y＝… の左が y」を、いつも確かめてから代入しよう。

次は、2x＋y＝5 のような「方程式」とグラフのつながりを見ていこう。連立方程式の解が、グラフのどこに見えるかがわかるよ。