方程式とグラフ

2x＋y＝5 を成り立たせる (x, y) は、
グラフのどこに並ぶ？

中2の連立方程式で、2x＋y＝5 のような「文字が2つある1次方程式」を学んだね。この方程式の解は1組ではなかった。解をぜんぶ点にしてみたら、何が見えるかな。

1. 方程式の解を点にする

x と y の2つの文字をふくむ1次方程式を、2元1次方程式というよ（「元」は、方程式にふくまれる、わからない数（文字）の種類のこと。x と y の2種類だから「2元」）。2x＋y＝5 は2元1次方程式だね。

この方程式を成り立たせる x と y の値の組（解）は、たくさんある。たとえば、

• x＝0 のとき 2×0＋y＝5 で y＝5
• x＝1 のとき y＝3
• x＝2 のとき y＝1
• x＝3 のとき y＝－1
• x＝－1 のとき y＝7

x を決めるごとに y が1つ決まるね。整数でなくても、x＝0.5 のとき y＝4 のように、解はいくらでもある。これらの解 (x, y) を、座標平面の点にしてみよう。点をとる前に、予想してね。

発見2元1次方程式 2x＋y＝5 の解を座標とする点は、1本の直線の上に並ぶ。この直線を、方程式 2x＋y＝5 のグラフという。

方程式のグラフとは、「その方程式を成り立たせる (x, y) を座標とする点を、ぜんぶ集めたもの」のことだよ。反対に、グラフの上の点の座標は、どれも方程式を成り立たせる。

2. y について解くと1次関数

どうして直線になるのかな。2x＋y＝5 を y について解いてみよう。2x を右辺に移項すると、

y＝－2x＋5

これは、傾き －2、切片 5 の1次関数の式だね。方程式 2x＋y＝5 のグラフは、1次関数 y＝－2x＋5 のグラフと同じ直線なんだ。「x を決めると y がただ1つ決まる」という見方をすると、2元1次方程式は、y の係数が 0 でないとき、y を x の関数として表している式とみることができる。

ポイント2元1次方程式は、y の係数が 0 でないとき、y について解くと1次関数の式（x の係数も 0 なら y＝k の式）になる。そのグラフは直線。

例題1　方程式 3x－2y＝6 のグラフの傾きと切片を求めよう。

y について解くよ。3x を移項して －2y＝－3x＋6、両辺を －2 でわって、

y＝32x－3

傾きは 3/2、切片は －3。両辺を －2 でわるとき、右辺の2つの項の両方をわることに気をつけよう。－3x を －2 でわると 32x、6 を －2 でわると －3 だね。

グラフを速くかくには、x 軸・y 軸との交点を使う方法もあるよ。方程式に x＝0 を入れると y 軸との交点、y＝0 を入れると x 軸との交点がわかる。

発見3x－2y＝6 に x＝0 を入れると y＝－3、y＝0 を入れると x＝2。2点 (0, －3)、(2, 0) を結ぶと、方程式のグラフになる。

y について解かなくても、2点がすぐに見つかる。係数が大きくて y について解くと分数になるときに便利だよ。

グラフの上の点の座標を求めるときも、方程式に入れればいい。3x－2y＝6 のグラフ上で x 座標が 4 の点なら、3×4－2y＝6 から －2y＝－6、y＝3 で、点 (4, 3)。y について解いた式 y＝32x－3 に x＝4 を入れても、y＝32×4－3＝3 で同じになるね。

y について解くときは、符号に気をつけよう。3x－2y＝6 の 3x を右辺に移項すると －3x。そのあと両辺を －2 でわるので、－3x は 32x に、6 は －3 になる。「y＝(3/2)x＋3」や「y＝－(3/2)x－3」としてしまうのは、どちらか一方の符号だけを変えたときに起きるまちがいだよ。できた式に、見つけた点 (2, 0) を入れて確かめると気づける。

3. y＝k と x＝h のグラフ

2元1次方程式で、x の係数や y の係数が 0 のときを考えよう。

x の係数が 0 のとき：たとえば 0x＋2y＝6、つまり 2y＝6 で y＝3。x がどんな値でも y＝3 だから、グラフは点 (－2, 3)、(0, 3)、(4, 3) … を通る、x 軸に平行な直線になる。

x を決めると、y は 3 にただ1つ決まる。だから y は x の関数ではある。でも、y＝0x＋3 と見ると a＝0 なので、1次関数ではないよ（1次関数は a≠0）。

y の係数が 0 のとき：たとえば 2x＋0y＝4、つまり 2x＝4 で x＝2。こんどは y がどんな値でも、x は 2。グラフはどんな形になるかな。

発見x＝2 のグラフは、点 (2, 0) を通り、y 軸に平行な直線。y＝3 のグラフは、点 (0, 3) を通り、x 軸に平行な直線。

では、x＝2 は、y を x の関数として表しているかな。「x を決めると y がただ1つ決まる」かどうかを考えて、予想してみよう。

x＝2 のグラフの上には、(2, －1)、(2, 0)、(2, 4) … と、x＝2 に対して y の値がいくつもある。「x を決めると y がただ1つ決まる」になっていないね。だから、y は x の関数ではない。

ポイント方程式 y＝k のグラフは点 (0, k) を通り x 軸に平行な直線、方程式 x＝h のグラフは点 (h, 0) を通り y 軸に平行な直線。x＝h は、y を x の式で表せないので、1次関数ではない。

反対に、2点から直線の式を求めてみよう。式を求めるときは、いつものように y＝ax＋b とおくところから始めるよ。

2点 (－2, －4)、(5, －4) を通る直線なら、y＝ax＋b とおいて2点の座標を入れると、－4＝－2a＋b（①）と －4＝5a＋b（②）。②－① をすると 0＝7a で、a＝0。①に入れて b＝－4。式は y＝0x－4、つまり y＝－4。y 座標がどちらも －4 だから、グラフを見ても y＝－4 だとわかるね。a＝0 なので、1次関数ではない。

2点 (－3, 1)、(－3, 5) を通る直線ではどうなるかな。y＝ax＋b とおいて2点の座標を入れると、1＝－3a＋b と 5＝－3a＋b。右辺はまったく同じ式なのに、左辺は 1 と 5。どんな a と b を選んでも、2つの式が両方とも成り立つことはない。つまり、この直線は y＝ax＋b の形では表せないんだ。この直線の上の点は、どれも x 座標が －3 なので、式は x＝－3。変化の割合を求めようとしても、x の増加量が 0 になって、わり算ができない。これも、x＝h の直線が y＝ax＋b で表せないことを示しているよ。

まとめると、2元1次方程式のグラフは、いつも直線になる。そのうち、y について解けるもの（y の係数が 0 でないもの）は y を x の関数とみることができ、x の係数も 0 でなければ1次関数になる。x＝h の形のものは、直線ではあるけれど関数を表してはいない。

• 2x＋y＝5：y について解くと y＝－2x＋5。傾き －2 の直線。1次関数。
• 2y＝6：y について解くと y＝3。x 軸に平行な直線。y は x の関数だけれど、a＝0 なので1次関数ではない。
• 2x＝4：y について解けない（x＝2）。y 軸に平行な直線。y は x の関数ではない。

4. 連立方程式の解と交点

2つの2元1次方程式を組にしたものが、連立方程式だったね。

x＋y＝5　…①

2x－y＝1　…②

①のグラフも②のグラフも直線。2本の直線をかいてみよう。

発見2本の直線は、点 (2, 3) で交わる。連立方程式 x＋y＝5、2x－y＝1 の解は x＝2、y＝3。交点の座標と、連立方程式の解は同じ。

なぜ同じになるのかな。①のグラフの上の点は、①を成り立たせる (x, y) だった。②のグラフの上の点は、②を成り立たせる (x, y)。2本の直線の交点は、両方のグラフの上にあるから、①と②の両方を成り立たせる。これが連立方程式の解なんだ。

ポイント2直線の交点の座標は、2つの直線の式を組にした連立方程式の解。

例題2　2直線 y＝2x＋1 と y＝－x＋7 の交点の座標を求めよう。

• 交点では、2つの式の y が等しい。だから 2x＋1＝－x＋7。
• x の項を左に、数の項を右に集めて、3x＝6。だから x＝2。
• x＝2 を y＝2x＋1 に代入して、y＝2×2＋1＝5。
• 確かめ：もう一方の式にも入れると、y＝－2＋7＝5。どちらの直線の上にもあるね。

交点は (2, 5)。y＝… の形の式が2つあるときは、y どうしを等しいとおく代入法が速いよ。

例題3（加減法で）　2直線 3x＋2y＝7、x－2y＝5 の交点の座標を求めよう。

ax＋by＝c の形のままなら、加減法が速いよ。2つの式をたすと、2y と －2y が消えて 4x＝12、x＝3。x＝3 を x－2y＝5 に入れると 3－2y＝5、－2y＝2、y＝－1。交点は (3, －1)。確かめると、3×3＋2×(－1)＝7、3－2×(－1)＝5 で、どちらの式も成り立つね。

例題4（軸に平行な直線との交点）　直線 y＝2x－3 と直線 y＝5 の交点を求めよう。

y＝5 のグラフの上の点は、どれも y 座標が 5。だから交点は、y＝2x－3 で y＝5 になる点だね。5＝2x－3 から 2x＝8、x＝4。交点は (4, 5)。同じように、直線 x＝－1 との交点なら、x＝－1 を入れて y＝2×(－1)－3＝－5 で、(－1, －5)。軸に平行な直線との交点は、わかっている方の座標を代入するだけで求められるよ。

例題5（グラフでは読めない交点）　2直線 y＝x＋1 と y＝－2x＋3 の交点を求めよう。

x＋1＝－2x＋3 から 3x＝2、x＝23。y は y＝23＋1＝53。交点は (2/3, 5/3)。

グラフをかいて交点を読もうとしても、2/3 や 5/3 は目もりの上にないので、正確には読めない。グラフは「どのあたりで交わるか」を見るのに向いていて、正確な座標は連立方程式で計算する。図と式の、それぞれのよさだよ。

次は、いよいよ身のまわりの場面を1次関数で考えよう。料金プランの比較や、2人が出会う時刻も、交点を使えば求められるよ。