解説 6 ／全7

y＝ax² を使う

時速 40 km で 8 m。
時速 80 km では？

ここまでで、y＝ax² の式・グラフ・変域・変化の割合を学んだね。こんどは、身のまわりの場面や、グラフの問題を y＝ax² で考えてみよう。出発点は、いつもの「おく」だよ。

1. ブレーキがきき始めてから止まるまで

自動車は、ブレーキがきき始めてから止まるまでに、しばらく進む。この距離を 制動距離 というよ。同じ車・同じ道路なら、制動距離は、ブレーキがきき始めたときの速さの2乗にほぼ比例することが知られているんだ。

例題1　ある自動車で、かわいた道路で調べると、時速 40 km で走っているときの制動距離は 8 m でした。制動距離は速さの2乗に比例するものとします。時速 80 km で走っているときの制動距離は何 m ですか。

計算する前に、予想してみよう。

予想時速 40 km で 8 m。速さが2倍の時速 80 km では、何 m になると思う？

7つの段階で確かめよう。

答え　32 m

a＝1/200 のように、a がとても小さい分数になることもある。x の値（速さ）が大きいので、x² はもっと大きくなる。それに小さな a をかけて、ちょうどよい大きさの距離になるんだ。

単位にも気をつけよう。x は時速 km、y は m と、単位がちがうね。x と y は別の量なので、そろえなくてかまわない。大事なのは、a を求めたときと、式を使うときで、同じ単位を使うこと。もし速さを秒速 m で考えるなら、a の値も変わってしまうよ。

グラフでも見てみよう。

速さと制動距離（y＝(1/200)x²）時速 x kmy（m）y＝(1/200)x²20406080100102030405060O(40, 8)(60, 18)(80, 32)
  1. わかっているのは、時速 40 km のとき 8 m。点 (40, 8) だね。
  2. a＝1/200 がわかったので、y＝1200x2 のグラフがかける。速さが大きくなるほど、急に長くなっていく。
  3. 時速 60 km では、60²÷200＝3600÷200＝18 で、18 m。
  4. 時速 80 km では 32 m。速さが2倍（40→80）になると、距離は4倍（8→32）。

予想時速 60 km では、ブレーキがきき始めてから止まるまで何 m 進む？

発見速さが2倍になると、制動距離は4倍になる。速さを少し上げただけでも、止まるまでの距離は大きくのびる。

時速 60 km（40 km の 1.5倍）では、距離は 1.5²＝2.25倍で 18 m。時速 100 km では 1200×1002＝50 で 50 m。時速 40 km のときの6倍以上だね。スピードの出しすぎがあぶない理由が、式から見えてくるね。

こんどは、y から x を求めてみよう。

例題2　例題1の自動車で、制動距離を 18 m 以下にしたいとき、速さを時速何 km 以下にすればよいですか。

答え　時速 60 km 以下

やってみよう

例題1の自動車が、ぬれた道路を走るとき、時速 40 km での制動距離は 12 m だったとする。ぬれた道路でも制動距離は速さの2乗に比例するものとして、時速 60 km での制動距離を求めよう。答えは下にあるよ。

答え

12＝a×402 より、1600a＝12 で a＝3/400。y＝3400x2 に x＝60 を入れて、3400×602＝27 で 27 m。かわいた道路の 18 m より 9 m も長いね。速さが 1.5倍なので、12 m の 1.5²＝2.25倍と考えて、12×2.25＝27 と求めることもできるよ。

2. 斜面を転がるボール

斜面の上にボールを置いて、静かに手をはなしたときも、転がる距離は、転がりはじめてからの時間の2乗に比例することが知られている（まさつや空気の影響が小さいとき）。はじめに勢いをつけて転がすと、2乗に比例しなくなるので気をつけよう。

例題3　ゆるやかな斜面の上にボールを置いて、静かに手をはなしたところ、転がりはじめてから2秒間で 120 cm 転がりました。転がる距離は時間の2乗に比例するものとします。(1) 3秒間では何 cm 転がりますか。(2) 斜面の長さが 480 cm のとき、ボールが斜面の下に着くのは、転がりはじめてから何秒後ですか。

答え　(1) 270 cm　(2) 4秒後

表にすると、次のようになるよ。わく（2秒で 120 cm）が、わかっていた組だね。

斜面を転がるボールの時間と距離x（秒）1234y（cm）30120270480
  1. わかっているのは、2秒で 120 cm。a＝30 だから、1秒では 30×1²＝30 cm。
  2. 3秒では 30×3²＝30×9＝270 cm。例題3の (1) の答えだね。
  3. 4秒では 30×4²＝480 cm。2秒のときの4倍だね。1秒ごとに転がる距離は、30、90、150、210 cm と、60 cm ずつ増えている。

予想1秒ごとに転がる距離は、0〜1秒で 30 cm、1〜2秒で 120－30＝90 cm。この1秒ごとの距離は、何 cm ずつ増えていく？

発見斜面を転がるボールも、落ちるボールと同じく y＝ax² で表せる。a の値は、斜面の傾きによって変わる。

1秒ごとに転がる距離は、30、90、150、210 cm と、60 cm ずつ大きくなっていく。落ちるボール（5、15、25、35 m で、10 m ずつ）と同じように、だんだん速くなっていることがわかるね（解説5）。

斜面が急になるほど、ボールは速く転がり、a は大きくなる。落ちるボールの式 y＝5x²（y は m）を cm で表すと y＝500x²。ゆるやかな斜面の a＝30 は、それよりずっと小さいね。ゆるやかな斜面では、ゆっくりと速くなっていくんだ。

3. 放物線と直線の交点

こんどは、グラフの上で y＝ax² を使おう。放物線と直線が交わる点を求める問題だよ。

例題4　関数 y＝ax² のグラフは、点 (4, 4) を通ります。このグラフと、直線 ℓ：y＝(1/2)x＋2 との交点の座標を求めなさい。

計算する前に、2つのグラフをかいて、交わる点がいくつあるか見てみよう。図の後半では、例題5で使う三角形も出てくるよ。

放物線と直線の交点と三角形xyy＝(1/4)x²ℓ－3－2－112345－1123456OABC
  1. 直線 y＝12x＋2 をかく。
  2. 交わる点は A(－2, 1) と B(4, 4)。2次方程式 x²－2x－8＝0 の解 x＝－2、4 が、交点の x 座標になっている。
  3. 直線が y 軸と交わる点は C(0, 2)。OC を底辺にすると、面積が求めやすい。
  4. 三角形 OAB を y 軸で2つに分ける。△OAC＝2×2÷2＝2、△OBC＝2×4÷2＝4。合わせて 6。

予想直線 y＝12x＋2 は、放物線 y＝14x2 と、いくつの点で交わると思う？

交点は、2つのグラフの両方の上にある点。だから、交点では x も y も同じだね。2つの式の y が等しいとおいて、

14x2＝12x＋2

答え　(－2, 1)、(4, 4)

発見放物線と直線の交点の x 座標は、2つの式の y を等しいとおいてできる2次方程式の解になる。

2次方程式の2つの解が、そのまま2つの交点の x 座標になっているね。図で見た2つの交点と合っている。場面の問題とちがって、ここでは x＜0 の点も座標平面の上のふつうの点なので、2つとも答えだよ。

交点の y 座標は、放物線の式と直線の式のどちらに入れても求められる。片方で求めて、もう片方で確かめると、計算のまちがいに気づけるよ。

4. 三角形の面積

例題5　例題4の2つの交点を、x 座標の小さい方から A、B とします。原点を O とするとき、△OAB の面積を求めなさい。ただし、座標の1目もりを 1 cm とします。

△OAB は、どの辺も x 軸や y 軸に平行ではないので、底辺と高さが見つけにくい。そこで、直線 ℓ と y 軸の交点 C で、三角形を2つに分けよう。

答え　6 cm²

y 軸で分けると、どちらの三角形も「底辺は OC、高さは x 座標の絶対値」になるのがポイント。まとめて 2×(2＋4)÷2＝6 と計算することもできるよ。高さに x 座標をそのまま使うと、A の方は －2 になってしまう。長さは負の数にならないので、絶対値を使おう。

まとめ

  • 場面の中の「2乗に比例する」量は、y＝ax2 とおき、1組の値から a を求める。
  • y から x を求めると x が2つ出ることがある。時間や速さなど、場面では x＞0 の方を選び、理由を書く。
  • 放物線と直線の交点は、2つの式の y を等しいとおいた2次方程式を解いて求める。
  • 放物線と直線でできる三角形の面積は、y 軸などで2つに分けると求めやすい。

どう考えた？

制動距離が速さの2乗に比例することから、「スピードを出しすぎるとあぶない」理由を、数を使って説明してみよう。

説明の例を見る

制動距離は速さの2乗に比例するので、速さが2倍になると制動距離は4倍、3倍になると9倍になる。例題の車では、時速 40 km で 8 m だった制動距離が、時速 80 km では 32 m になる。速さは2倍でも、止まるまでの距離は4倍にのびるので、前の車や人にぶつかる危険が大きくなる。

数学ではどう考える？

数学では、次のように考えるよ。

  • 放物線 y＝ax² と直線 y＝mx＋n の交点の x 座標は、2次方程式 ax²＝mx＋n、つまり ax²－mx－n＝0 の解。解が2つなら交点は2つ、解が1つ（「重解」という。高校で使う用語）なら直線は放物線にふれるだけ（接する）、解がなければ交わらない。
  • 2つの交点の x 座標を p、q とすると、ax²－mx－n＝a(x－p)(x－q) と表せる。右辺を展開して x の係数をくらべると m＝a(p＋q)。直線の傾きは a(p＋q) で、解説5 の変化の割合と同じ式になる。例題4では (1/4)×{(－2)＋4}＝1/2 で、直線 ℓ の傾きと合っているね。
  • 定数の項をくらべると n＝－apq。例題4では －(1/4)×(－2)×4＝2 で、直線 ℓ の切片と合っている。
  • 落ちるボールや斜面のボールは、止まった状態から一定の割合で速くなる運動なので、進んだ距離が時間の2乗に比例する。ブレーキは一定の割合でおそくなる運動なので、止まるまでの距離が、はじめの速さの2乗に比例する。高校の物理で、くわしく学ぶよ。

次は、y＝ax² のような、これまでの式では表しにくい関数も見てみよう。

この解説で、できるようになったこと

  • 身のまわりの場面を y＝ax² で表し、先のことを予想できる
  • 放物線と直線の交点を、2次方程式を解いて求められる
  • 放物線と直線でできる三角形の面積を求められる

問題で確かめよう

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