2乗に比例する関数

ボールを落とすと、
1秒でおよそ 5 m。
では、2秒では 10 m？

ぼくは まるくん。中1では y＝ax、中2では y＝ax＋b と、いつも「おく」ところから始めたね。中3で出会うのは、比例とも1次関数ともちがう、新しい関数だよ。

1. 落ちる距離を調べよう

高い所から、ボールをそっと手からはなすことを考えよう。投げるのではなく、静かに落とすんだ。ボールは下へ落ちていくね。落ちはじめてから1秒間で、ボールはおよそ 5 m 落ちることがわかっているよ。

では、2秒間では何 m 落ちるだろう。1秒で 5 m なら、2秒で 10 m、3秒で 15 m……と考えたくなるね。これは、「時間と落ちる距離は比例する」と考えたことになる。本当にそうかな？

落ちはじめてからの時間を x 秒、そのあいだに落ちた距離を y m として、表にしてみよう。「▶ 動かす」を押して、1歩ずつ進めてね。とちゅうで予想の問いが出てくるよ。

発見落ちる距離は、時間に比例していない。時間が1秒から2秒へ2倍になると、距離はおよそ 5 m から 20 m へ4倍になる。

2秒でおよそ 20 m、3秒でおよそ 45 m、4秒でおよそ 80 m。落ちるボールは、地球に引っぱられつづけるので、時間がたつほどどんどん速くなる。だから、同じ1秒間でも、あとの1秒間の方がたくさん落ちるんだ。はじめの1秒で 5 m、次の1秒で 15 m、その次の1秒で 25 m。1秒ごとに落ちる距離がのびていくので、時間に比例するよりも、ずっと大きな距離になるんだね。

2. x が2倍・3倍になると、y は？

表を横に見て、x が何倍になると y が何倍になるかを調べよう。比例 y＝ax なら、x が2倍になると y も2倍、x が3倍になると y も3倍だったね。落ちる距離ではどうなるかな。

発見x が2倍になると y は4倍、x が3倍になると y は9倍になる。4＝2×2、9＝3×3 だから、y は「x が何倍になったか」を2乗した数だけ、倍になっている。

4＝2×2＝2²、9＝3×3＝3²。x が2倍、3倍、4倍……になると、y は 2²倍、3²倍、4²倍……、つまり4倍、9倍、16倍……になっている。1秒から4秒へ4倍になると、距離は 5 m から 80 m へ16倍だね。表で確かめてみよう。

この決まりを使えば、表にない時間でも考えられるよ。

5秒間なら、1秒のときの 5²倍、つまり25倍で、およそ 125 m。反対に、時間が半分（1/2倍）になると、距離は (1/2)²＝1/4 倍になる。1秒でおよそ 5 m なら、0.5秒ではおよそ 1.25 m だよ。時間を短くすると、距離はそれ以上に短くなるんだね。

x が2倍で y が4倍。この関係は、比例とも1次関数ともちがう、新しい関数の目じるしなんだ。

3. 何でわると一定になる？

比例では、表をたてに見ると y÷x がいつも同じ数（比例定数 a）だったね。だから y＝ax とおけた。では、落ちる距離でも y÷x を計算してみよう。そして、x のかわりに x²（x×x）でわってみると、どうなるかな。

発見y÷x は一定ではないけれど、y÷x² はいつも 5 になる。y は、x ではなく x² に比例している。

y÷x²＝5 ということは、y＝5×x²。かけ算の記号をはぶいて y＝5x² と書ける。確かめてみよう。x＝3 なら y＝5×3²＝5×9＝45。表の 45 と合っているね。x＝4 なら y＝5×4²＝5×16＝80。これも合っている。

このように、y が x の関数で、

y＝ax²（a は 0 でない定数）

の形で表されるとき、y は x の2乗に比例する というよ。a を 比例定数 という。中1の比例と同じ言葉だね。落ちる距離の例では、a＝5 だよ。この単元では、この関数を「関数 y＝ax²」とよぶよ。

ポイントy が x の2乗に比例するとき、y＝ax² とおく。x≠0 のとき、y÷x² はいつも a になる。

「2乗に比例する」と問題に書いてあったら、まず y＝ax² とおく。これが、この単元の出発点だよ。a はまだわからない数。1次方程式で、わからない数を x とおいたのと同じように、ここではわからない比例定数を a とおいているんだ。

4. 1組の x・y で a が決まる

y＝ax² とおいたら、わかっている x と y の組を1つ入れれば、a が決まる。例題の前に、1つ予想してみよう。x に負の数を入れると、y はどうなるかな。

ポイント(－3)² と －3² はちがう。(－3)²＝(－3)×(－3)＝9、－3²＝－(3×3)＝－9。x に負の数を入れるときは、かならずかっこをつけて a×(－3)² と書こう。

では、例題で「おく」から順に進めてみよう。

例題1　y は x の2乗に比例し、x＝2 のとき y＝12 です。y を x の式で表しなさい。また、x＝－3 のときの y の値を求めなさい。

• おく：y は x の2乗に比例するから、y＝ax² とおく。
• 入れる：x＝2、y＝12 を代入すると、12＝a×2²、つまり 12＝4a。
• 求める：両辺を 4 でわって、a＝12÷4＝3。
• 式にする：y＝3x²
• 使う：x＝－3 を代入する。負の数を入れるので、かっこをつけよう。y＝3×(－3)²＝3×9＝27
• 確かめる：x＝2 を入れると 3×2²＝12。はじめの組と合っているね。

答え　y＝3x²、x＝－3 のとき y＝27

x＝－3 を入れたのに、y は正の数になったね。(－3)² は (－3)×(－3)＝9 で、正の数だからだよ。x＝3 を入れても、3×3²＝27 で同じ 27 になる。符号だけがちがう x を入れると、y は同じになるんだ。このことは、グラフの形を考えるときに大切になるよ（解説3）。

例題2　y は x の2乗に比例し、x＝4 のとき y＝－8 です。y を x の式で表しなさい。また、x＝6 のときの y の値を求めなさい。

• おく：y＝ax² とおく。
• 入れる：－8＝a×4²、つまり －8＝16a。
• 求める：両辺を 16 でわって、a＝－816＝－12。
• 式にする：y＝－12x²
• 使う：y＝－12×6²＝－12×36＝－18
• 確かめる：x＝4 を入れると －12×4²＝－8。はじめの組と合っているね。

答え　y＝－12x²、x＝6 のとき y＝－18

a が負の数のときは、x に 0 以外のどんな数を入れても、y は負の数になる。x² はいつも正の数（x＝0 なら 0）で、それに負の数 a をかけるからだよ。a が分数のときも、手順は同じ。「おく → 入れる → 求める → 式にする」の順に進めば、a がどんな数でも式が決まる。

x＝0 のときは、どんな a でも y＝a×0² で y＝0。関数 y＝ax² は、いつも x＝0 のとき y＝0 になる関数だよ。

5. 身のまわりの「2乗に比例」

2乗に比例する関係は、ものが落ちる場面のほかにも見つかるよ。

正方形の1辺が2倍になると、面積は4倍になる。1辺 2 cm の正方形は 4 cm²、1辺 4 cm の正方形は 16 cm² だね。円の面積も、半径が2倍になると4倍になる。半径 3 cm の円は 9π cm²、半径 6 cm の円は 36π cm² で、ちょうど4倍。同じ厚さのピザなら、直径が2倍になると、食べられる量は4倍になるんだ。

円の面積の式 y＝πx² では、比例定数 a が π（およそ 3.14）になっている。a は整数や分数だけでなく、π のような数になることもあるんだね。

反対に、2乗に比例しない例もあるよ。たて 3 cm、横 x cm の長方形の面積 y cm² は y＝3x で、x が2倍になると y も2倍。これは比例だね。「面積だから2乗に比例する」とは限らない。x が2倍になったとき y が何倍になるかを、いつも確かめよう。

斜面・ブレーキの場面は、解説6 でくわしく考えるよ。

次は、y＝ax² の問題をいつも同じ順番で解く「7つの段階」を見ていこう。出発点は「y＝ax² とおく」ことだよ。