y＝ax² のグラフ

y＝x² のグラフは、
どんな形になる？

比例のグラフは、原点を通る直線だったね。x が2倍で y が4倍になる関数では、グラフはどんな形になるかな？

1. 点をとってみよう

まず、いちばん基本の y＝x² を考えよう。いつものように y＝ax² とおいて、a＝1 とした式だよ。x にいろいろな数を入れて、表をつくる。負の数を入れるときは、(－3)²＝9 のように、かっこをつけて計算しよう。

表を見ると、おもしろいことに気づくね。x＝3 と x＝－3 のとき、y はどちらも 9。x＝2 と x＝－2 も、どちらも 4。符号がちがう x でも、y が同じになっている。3²＝9、(－3)²＝9 だからだね。

もう1つ。y はどれも 0 以上で、負の数がない。x² は、正の数を2乗しても負の数を2乗しても正の数になり、0 なら 0 だからだよ。

表の x・y の組を座標とする点を、座標平面にとっていこう。点と点のあいだにも、x＝0.5 や x＝1.5 のときの点がある。点をどんどんふやしていくと、どんな形になるかな。

発見点をかぎりなくふやしていくと、y＝x² のグラフは、原点を通り、y 軸をはさんで左右が同じ形の、なめらかな曲線になる。

x＝0.5 の点 (0.5, 0.25) は、(0, 0) と (1, 1) を結んだ直線よりも下にある。x＝1.5 の点 (1.5, 2.25) も、(1, 1) と (2, 4) を結んだ直線より下にある。だから、表の点を直線で結んだ折れ線にはならないんだ。原点のあたりも、とがらずに丸くなっているよ。

2. 放物線・軸・頂点

y＝x² のグラフのような曲線を、放物線 というよ。ボールをななめ上に投げたときの道すじが、空気の影響を考えなければこの形になることから、「物を放る（投げる）線」と名づけられたんだ。噴水の水や、バスケットボールのシュートの道すじを思いうかべてみよう。

放物線には、名前のついた所がある。

• 軸：放物線は、ある直線を折り目にして折ると、左右がぴったり重なる。この直線を放物線の軸という。y＝ax² のグラフの軸は、y 軸だよ。
• 頂点：放物線と軸が交わる点を、放物線の頂点という。y＝ax² のグラフの頂点は、原点だよ。

「y 軸について対称」とは、点 (3, 9) がグラフの上にあれば、y 軸をはさんで反対側の点 (－3, 9) もグラフの上にある、ということ。x の符号を反対にしても y が変わらないから、グラフは y 軸について対称になるんだ。

グラフをかくときは、次のことに気をつけよう。

• 点と点を直線で結ばず、なめらかな曲線でつなぐ。
• 原点のところで、V の字のようにとがらせない。
• 放物線は、かいた範囲の外へもどこまでものびていく。はしで線を止めたり、上を閉じたりしない。

グラフをかく手順も、まとめておこう。

1. 式から表をつくる。x は －3 から 3 くらいまで、負の数も入れる。
2. 表の点を座標平面にとる。y 軸をはさんで、同じ高さの点がペアでならぶはず。ならばなければ、計算を見直そう。
3. 原点を頂点にして、なめらかな曲線でつなぐ。原点の近くはゆるやかに、原点から遠ざかるほど急にする。

x が 0 から遠ざかるほどグラフが急になるのは、x が1増えるごとの y の増え方が、1、3、5、7、… と大きくなっていくからだよ（解説5 でくわしく学ぶよ）。

3. a の値とグラフの形

こんどは、a の値を変えてみよう。a が変わると、放物線の形はどう変わるかな。図を見る前に、予想してみよう。

y＝2x²（a＝2）と y＝12x²（a＝1/2）を、y＝x²（a＝1）とくらべて確かめよう。

発見a が大きいほど、グラフの開き方は小さくなり（y 軸に近い細い形）、a が 0 に近い正の数ほど、開き方は大きくなる（太い形）。

同じ x＝2 で見ると、y＝2x² では y＝8、y＝x² では y＝4、y＝12x² では y＝2。同じ x でも、a が大きいほど y が大きく、点が上にくる。だから、a が大きい放物線ほど、上へ上へとのびて、細くなるんだ。y＝2x² のグラフは、y＝x² のグラフを、たてに2倍にのばした形になっているよ。

比例のグラフ y＝x と、y＝x² のグラフをくらべてみるのもおもしろいよ。x＝1 のときは、どちらも y＝1。x＝2 のとき、y＝x は 2、y＝x² は 4 で、放物線の方が上にある。ところが x＝0.5 のとき、y＝x は 0.5、y＝x² は 0.25 で、放物線の方が下になる。0 と 1 のあいだの数は、2乗すると小さくなるからだね。放物線は、原点の近くでは x 軸によりそうように、ゆるやかに曲がっているんだ。

では、a が負の数ならどうなるだろう。y＝－x² を、y＝x² とくらべてみよう。

発見y＝－x² のグラフは、y＝x² のグラフを x 軸で折り返した形で、下に開いた放物線になる。y＝ax² と y＝－ax² のグラフは、x 軸について対称。

同じ x に対して、y＝－x² の y は、y＝x² の y と符号が反対。だから、どの点も x 軸について反対側にうつる。y＝2x² と y＝－2x²、y＝(1/2)x² と y＝－(1/2)x² も、それぞれ x 軸について対称だよ。

a が負の数のとき、x がどんな数でも y は 0 以下。グラフは、原点をのぞいて x 軸の下にある。開き方は、a の絶対値で決まるよ。y＝－2x² は、y＝－x² より細い。y＝－(1/2)x² は、y＝－x² より太い。

4. y＝ax² のグラフの特徴

ここまでのことを、まとめておこう。

どちらのときも、原点を通り（頂点は原点）、y 軸について対称な放物線だよ。

グラフから式を求めるときも、出発点は「y＝ax² とおく」。

例題1　原点を頂点とし、y 軸を軸とする放物線が、点 (3, －18) を通っています。この放物線の式を求めなさい。また、この放物線が点 (－1, －2) を通るかどうか調べなさい。

• おく：原点を頂点とし、y 軸を軸とする放物線だから、y＝ax² とおく。
• 入れる：x＝3、y＝－18 を代入して、－18＝a×3²、つまり －18＝9a。
• 求める：両辺を 9 でわって、a＝－18÷9＝－2。
• 式にする：y＝－2x²
• 使う：x＝－1 を代入すると、y＝－2×(－1)²＝－2×1＝－2。y＝－2 になるので、点 (－1, －2) を通る。
• 確かめる：a＝－2 は負の数なので、グラフは下に開く。点 (3, －18) は x 軸の下にあるから、下に開く放物線と合っているね。y 軸について対称だから、点 (－3, －18) も通るはず。－2×(－3)²＝－18 で、確かに通るよ。

答え　y＝－2x²、点 (－1, －2) を通る

例題2　関数 y＝ax² のグラフが、点 (－2, 2) を通るとき、a の値を求めなさい。また、このグラフの上で、x 座標が 4 の点の y 座標を求めなさい。

• おく：y＝ax² とおく。
• 入れる：x＝－2、y＝2 を代入して、2＝a×(－2)²、つまり 2＝4a。
• 求める：a＝2÷4＝12
• 式にする：y＝12x²
• 使う：x＝4 を代入して、y＝12×4²＝8。
• 確かめる：a が正の数なので上に開く。点 (－2, 2) は x 軸の上にあるので合っている。y 軸について対称だから、点 (2, 2) も通るはず。12×2²＝2 で、確かに通るね。

答え　a＝1/2、y 座標は 8

グラフから通る点を読むときは、x 座標も y 座標も整数の点（格子点）を選ぶと、a を正確に求められるよ。目もり1つ分がいくつかも、先に確かめておこう。

グラフから式を求めるときに、よくあるまちがいも見ておこう。

• 点の座標を (y, x) の順に読んでしまう。座標は (x, y) の順。まず横、次にたてを読もう。
• 下に開いているのに、a を正の数にしてしまう。求めた a の符号が、グラフの開く向きと合っているかを確かめよう。
• 原点 (0, 0) を代入して a を求めようとする。0＝a×0² はどんな a でも成り立つので、a は決まらない。原点ではない点を使おう。

次は、x の変域が決まっているとき、y がどこからどこまで動くかを考えよう。