7つの段階：y＝ax² とおく

1秒でおよそ 5 m 落ちる。
4秒では、何 m 落ちる？

解説1 で、落ちる距離は時間の2乗に比例することを見たね。表を4秒まで書きつづけてもいいけれど、10秒、20秒となると大変。こういうときは、x と y の関係を式にしてしまおう。

関数 y＝ax² の問題は、いつも同じ順番で考えるよ。問題が変わっても、順番と言葉は変わらない。

1. 図：わかっている数と、求める「？」を表や図にする
2. おく：x と y が何の量かを1文で書き、y＝ax² とおく
3. 入れる：わかっている x と y の組を代入する
4. 求める：a についての方程式を解く
5. 式にする：求めた a を戻して、関係を式にする
6. 使う：式に x（や y）を入れて、聞かれた数を求める
7. 確かめる：はじめの組や場面に戻して確かめ、問いに答える

中1で「y＝ax とおく」、中2で「y＝ax＋b とおく」を学んだ人は、それを思い出してね。中3でも出発点は同じ。x と y の関係を 「y＝ax² とおく」 ところから始まるよ。

ボールを静かに落とすと、落ちはじめてから1秒間におよそ 5 m 落ちます。落ちる距離は、落ちはじめてからの時間の2乗に比例するものとします（空気の影響は考えません）。落ちはじめてから4秒間では、およそ何 m 落ちますか。

1. 図

まず、わかっている数と、求める「？」を表にしよう。まだ x や式は使わないよ。

時間と落ちた距離は、ともなって変わる2つの量。時間を決めると、落ちた距離がただ1つに決まるから、距離は時間の関数だね。わかっているのは「1秒でおよそ 5 m」の1組だけ。求めるのは「4秒のときの距離」。

表を見て、「4秒は1秒の4倍だから、5×4＝20 m」としたくなったら、ちょっと待って。それは比例のときの考え方だよ。問題文をもう一度読もう。「時間の2乗に比例する」と書いてあるね。図の段階では、答えを急がずに、「何がわかっていて、何を求めるのか」と「問題文に書いてある関係」を確かめるんだ。

2. おく

x と y が何の量かを1文で書いて、関係の形を決めよう。

落ちはじめてからの時間を x 秒、落ちた距離を y m とする。

次に、x と y の関係の形を決める。どの形でおけばいいかな。

距離は時間の2乗に比例する（問題文）から、y＝ax² とおく。

ここがいちばん大事なところ！ a は「まだわからない数」だよ。1次方程式で、わからない数を x とおいたのと同じ。ここでは、わからないのは比例定数 a なんだ。

「2乗に比例する」と書いていなくても、表で「x が2倍になると y が4倍」「y÷x² が一定」になっていれば、y＝ax² とおけるよ（解説1）。反対に、x が2倍で y も2倍なら y＝ax、x が1増えるごとに y が同じだけ増えるなら y＝ax＋b だね。どの形でおくかを、ここで決めるんだ。

x と y を決める1文も大切。「時間を x、距離を y」と決めたから、次の「入れる」で、x には時間、y には距離を入れる。この1文があると、あとで迷わないよ。

3. 入れる

わかっている x と y の組を、おいた式に代入しよう。

x＝1 のとき y＝5 だから、y＝ax² に代入すると、

5＝a×1²

x² の計算を先にしよう。1²＝1 だから、5＝a×1、つまり 5＝a。

x と y を逆に入れないように気をつけよう。y＝5 の方が「距離」、x＝1 の方が「時間」だったね（「2. おく」の1文を見よう）。逆に入れると 1＝a×5² となって、まったくちがう a が出てしまうよ。

4. 求める

a についての方程式を解こう。この例題では、x² の値が 1 なので、そのまま

a＝5

a＝5 は、「1秒間に落ちる距離（およそ 5 m）」そのものだね。x＝1 を入れると y＝a×1²＝a になるので、x＝1 のときの y の値が a になる。これは y＝ax でも y＝ax² でも同じだよ。

もし「2秒間でおよそ 20 m」という組がわかっていたら、20＝a×2²、つまり 20＝4a で、両辺を 4 でわって a＝20÷4＝5。「3秒間でおよそ 45 m」なら 45＝a×3²、つまり 45＝9a で a＝45÷9＝5。どの組を使っても、同じ a が出てくる。これが「y÷x² が一定」ということなんだ。

ここで、x² でわるところを x でわってしまう人が多いよ。比例のときの「a＝y÷x」のくせが出てしまうんだね。20÷2＝10 としてしまうと、a がちがってしまう。y＝ax² では、a＝y÷x² だよ。

5. 式にする

求めた a を、おいた式に戻そう。

a＝5 を y＝ax² に戻すと、

y＝5x²

これで、時間と距離の関係が1つの式になった。何秒でも、この式に入れれば距離がわかるよ。グラフでも見ておこう（グラフのくわしいことは 解説3 で学ぶよ）。

6. 使う

聞かれているのは、4秒間に落ちる距離。y＝5x² に x＝4 を代入すると、

y＝5×4²＝5×16＝80

2乗を先に計算するのがポイント。5×4 を先に計算して 20²＝400 としたり、4² を 4×2＝8 としたりしないように気をつけよう。計算の順番は「累乗が先、かけ算があと」だよ。

表を4秒まで書かなくても、1行で求められたね。これが「式にする」よさだよ。3.5秒のような半端な時間でも、5×3.5²＝61.25 で、およそ 61 m と求められる。

7. 確かめる

はじめの組に戻して、式が合っているか確かめよう。

x＝1 を y＝5x² に入れると、y＝5×1²＝5。問題の「1秒でおよそ 5 m」と合っているね。

場面にも戻そう。 4秒は1秒の4倍。2乗に比例するなら、距離は 4²＝16倍になるはず。およそ 5 m の16倍で、およそ 80 m。式で求めた答えと合っているね。もし比例のつもりで 20 m と答えていたら、ここで「4倍ではなく16倍のはず」と気づけるよ。

答えの大きさも考えよう。1秒でおよそ 5 m、2秒でおよそ 20 m、3秒でおよそ 45 m と、落ちる距離はどんどんのびていくので、4秒でおよそ 80 m は、表の流れとも合っている。最後に、問いに答える文を書こう。問題文が「およそ何 m」と聞いているので、答えにも「およそ」をつけるよ。

答え　およそ 80 m

発見x と y の関係を y＝ax² とおき、1組の x・y を入れて a を求めれば、どんな x に対しても y が1行で求められる。

この例題でよくあるまちがいを、段階ごとに3つ見ておこう。

• おく のまちがい：比例と考えて、5×4＝20 m とする。→ 問題文の「2乗に比例」を読み直そう。
• 求める のまちがい：「2秒で 20 m」から a を出すとき、20÷2＝10 とする。→ y＝ax² では a＝y÷x²。20÷4＝5 だよ。
• 使う のまちがい：5×4² を (5×4)²＝400 とする。→ 2乗するのは x だけ。4²＝16 を先に計算しよう。

どれも「確かめる」で、はじめの組に戻したり、場面の大きさを考えたりすれば気づけるよ。

y から x を求めるとき

こんどは反対に、「距離から時間」を求めてみよう。同じ7つの段階で進むよ。

例題2　同じようにボールを落とすとき、45 m 落ちるのは、落ちはじめてからおよそ何秒後ですか。

図・おく・入れる・求める・式にする は、さっきと同じ。時間を x 秒、距離を y m として、式は y＝5x² だね。

使う：こんどは y＝45 を代入して、x を求める。

45＝5x²

両辺を 5 でわると、x²＝9。2乗して 9 になる数は、3 と －3 の2つある。(－3)²＝9 だからね。だから、式を満たす x は、x＝3 と x＝－3 の2つ。中3の「平方根」で学ぶ ±3 だね。

式 y＝5x² だけを見ると、x に負の数を入れてもよい。だから、本当に2つあるんだ。表で確かめてみよう。

確かめる（場面に戻す）：x は「落ちはじめてからの時間」だから、負の数にはならない。x＝－3 は「落とす3秒前」という意味になってしまい、この場面には合わないね。だから x＞0 の方を選んで、x＝3。

x＝3 を戻すと 5×3²＝45。45 m と合っているね。

答え　およそ3秒後

ポイントy から x を求めると、x が2つ出てくることがある（x²＝9 なら x＝3、－3）。場面の問題では、x＞0 など、場面に合う方を選び、選んだ理由も書こう。

x＝－3 は「計算のまちがい」ではなく、「式としては正しいけれど、場面に合わない」から選ばないんだ。答案には、「x は時間なので x＞0。よって x＝3」のように、選んだ理由もいっしょに書こう。反対に、グラフの上の点を求める問題のように x が負の数でもよいときは、2つとも答えになるよ（解説6）。

自分でやってみよう

この例題は、問題集の y＝ax² の場面 001 にあるよ。「ヒントをひとつずつ見る」を選ぶと、7つの段階を1つずつ開きながら進められる。

答えが出たら、次の3つを自分に聞いてみてね。

• なぜ y＝ax² とおいてよいと言えるのか
• はじめの組に戻すと、本当に合っているか
• x が2つ出てきたとき、どちらを選んだか、なぜ選んだか