いろいろな関数

式で表せなくても、
関数といえる？

比例、反比例、1次関数、y＝ax²。4つの関数を学んできたね。でも、世の中の「ともなって変わる量」は、いつもこんな式で表せるのかな？

1. 階段のようなグラフ

ある駐車場の料金は、次のように決まっているとしよう（この単元で考えるために決めた料金だよ）。

• とめた時間が1時間以内なら 200 円
• 1時間をこえて2時間以内なら 400 円
• 2時間をこえて3時間以内なら 600 円
• 3時間をこえて4時間以内なら 800 円（4時間までとめられる）

とめた時間を x 時間、料金を y 円とする。x を決めると、y はただ1つに決まるね。だから、y は x の関数だよ。グラフにしてみよう。

発見グラフは、水平な線分が階段のようにならんだ形になる。x を決めると y はただ1つに決まるので、y は x の関数である。

線分のはしの ● は「その点をふくむ」、○ は「その点をふくまない」という印だよ。x＝1（ちょうど1時間）のとき、料金は 200 円。だから、x＝1 の所では、200 円の線分の右はしが ●、400 円の線分の左はしが ○ になる。もし両方とも ● にすると、x＝1 のとき y が 200 と 400 の2つになってしまい、「ただ1つに決まる」がくずれてしまうね。

表にすると、次のようになるよ。

この関数では、y がとる値は 200、400、600、800 の4つだけ。とびとびの値で、300 円や 700 円になることはない。x の値は 0 より大きく 4 以下のどんな数でもよいのに、y の値はとびとびになる。これも、比例や1次関数、y＝ax² にはなかった特徴だね。

この関数は、y＝ax や y＝ax² のような、これまでに学んだ1つの式では表せない。x の区間ごとに、y の値を決めているんだ。グラフもまっすぐな直線や、なめらかな曲線ではない。それでも、x を決めると y がただ1つに決まるから、関数だよ。

では、反対に y から x は決まるかな。

料金が 400 円でも、とめた時間は1時間10分かもしれないし、1時間50分かもしれない。y を決めても x はただ1つに決まらないので、「x は y の関数」とはいえない。どちらの量をもとにするかで、関数といえるかどうかが変わるんだ。

郵便料金や宅配便の料金、タクシーの料金なども、重さや距離の区切りごとに料金が決まっていることが多い。グラフにすると、同じように階段の形になるよ。実際の料金はときどき変わるので、調べるときは、その時点の料金表を見よう。

2. これまでの式では表しにくい関数

関数かどうかを決めるのは、「x を決めると y がただ1つに決まるか」だけ。式で表せるかどうかは関係ないんだ。次の表を見てみよう。自然数 x の約数が何個あるかを y とするよ。

発見自然数 x の約数の個数 y は、x を決めるとただ1つに決まるので、y は x の関数。でも、y を x の式で表すのはむずかしい。

x が 1、2、3、… と増えても、y は 1、2、2、3、2、4、2 と、増えたり減ったりする。比例や1次関数のような、決まった増え方はない。それに、y＝2 になる x は 2、3、5、7、… といくつもある。約数が 1 とその数自身だけの数、つまり素数だね。

ほかにも、次のようなものは関数だよ。

• ある日のある場所で、時刻 x 時の気温 y ℃。時刻を決めると気温は1つ。でも、これまでの式では表しにくい。
• 円周率 3.14159… の、小数第 x 位の数字 y。x＝1 なら 1、x＝2 なら 4、x＝3 なら 1、x＝4 なら 5。x を決めると y は1つに決まるけれど、中学校で学んだ形の式では表せない。

反対に、関数でないものもある。

自然数 x の倍数 y は、x＝3 なら 3、6、9、… といくつもある。x を決めても y がただ1つに決まらないから、関数ではないね。中1で見た「身長 x cm の人の体重 y kg」も、同じ身長でも体重はいろいろなので、関数ではなかった。

関数を表す方法は、式だけではないんだ。「1時間ごとに 200 円」のようなことば、駐車料金の表、階段のグラフも、どれも同じ関数を表している。式で表せるときは、式がいちばん短く正確に表せる。でも、式で表しにくいときでも、表やグラフやことばで、x と y の対応をはっきり決めれば、関数として調べることができるよ。

3. 4つの関数をくらべよう

中1から中3までに学んだ4つの関数を、グラフでならべてみよう。まずは、グラフが直線になる2つ。

次は、グラフが曲線になる2つ。

発見比例と1次関数のグラフは直線で、変化の割合は一定。反比例と y＝ax² のグラフは曲線で、変化の割合は一定ではない。

表にまとめると、次のようになるよ。

どの関数でも、まず形を決めて「おく」。比例なら y＝ax、反比例なら y＝ax、1次関数なら y＝ax＋b、2乗に比例するなら y＝ax²。わかっている組を入れて a（と b）を決める。この流れは、4つとも同じだったね。1つの式で表せる関数は、形を決めておき、a（と b）を求めれば、関係のすべてがわかるんだ。

形を見分けるには、表を見るのが近道だよ。

• x が2倍になると y も2倍 → 比例（y÷x が一定）
• x が2倍になると y が 1/2 倍 → 反比例（x×y が一定）
• x が1増えるごとに y が同じだけ増える → 1次関数（変化の割合が一定）
• x が2倍になると y が4倍 → 関数 y＝ax²（y÷x² が一定）
• どれにもあてはまらない → ほかの関数か、関数でない関係

例題1　次の表の x と y の関係は、4つの関数のどれですか。式で表しなさい。
x：1、2、3、4　y：－3、－12、－27、－48

• 図：表を横に見ると、x が 1 から 2 へ2倍になると、y は －3 から －12 へ4倍。x が 1 から 3 へ3倍になると、y は －3 から －27 へ9倍。
• おく：x が2倍で y が4倍、3倍で9倍だから、y は x の2乗に比例する。y＝ax² とおく。
• 入れる・求める：x＝1、y＝－3 を入れて －3＝a×1² で a＝－3。
• 式にする：y＝－3x²
• 確かめる：x＝4 のとき －3×4²＝－48。表と合っているね。y÷x² も、どれも －3 になっている。

答え　関数 y＝ax²（y は x の2乗に比例する）、y＝－3x²

a が負の数なので、x が2倍になっても y は「－3 の4倍の －12」になる。符号はそのままで、絶対値が4倍になっているね。表を横に見るときは、符号も数に入れて何倍かを計算しよう。

もう1つ、別の表でも見分けてみよう。x：0、1、2、3 のとき、y：1、4、7、10 だとする。x が1増えるごとに、y はいつも 3 増えている。x＝0 のとき y＝1 で 0 ではないので、比例ではなく1次関数。変化の割合 3、x＝0 のときの y が 1 だから、y＝3x＋1 だね。

例題2　次の表の x と y の関係は、4つの関数のどれですか。式で表しなさい。
x：1、2、3、6　y：6、3、2、1

• 図：表を横に見ると、x が 1 から 2 へ2倍になると、y は 6 から 3 へ 1/2 倍。x が 1 から 3 へ3倍になると、y は 6 から 2 へ 1/3 倍。
• おく：x が2倍で y が 1/2 倍、3倍で 1/3 倍だから、反比例。y＝ax とおく。
• 入れる・求める：x＝1、y＝6 を入れて 6＝a1 で a＝6。
• 式にする：y＝6x
• 確かめる：x＝6 のとき 66＝1。表と合っているね。x×y も、どれも 6 になっている。

答え　反比例、y＝6x

y がだんだん小さくなるからといって、それだけで形は決まらない。y＝－x＋7 のような1次関数でも、x＝1 で 6、x＝2 で 5 と、y は小さくなるね。「2倍で4倍」か、「2倍で 1/2 倍」か、「1増えるごとに同じだけ減る」かを、表でしっかり確かめよう。

4つの関数の関係も見ておこう。比例 y＝ax は、1次関数 y＝ax＋b の b が 0 のときだね。だから比例は1次関数の仲間で、どちらもグラフは直線。反比例と y＝ax² は、それぞれ別の仲間で、グラフは曲線になる。高校では、y＝ax² の仲間（2次関数）を、もっと広く学ぶよ。

これで、関数 y＝ax² の解説はおしまい。はじめの問い「1秒でおよそ 5 m 落ちるボールは、4秒で何 m 落ちる？」は、いまならどう見えるかな。「2乗に比例するから y＝ax² とおいて、a＝5、4秒ならおよそ 80 m」と、1行で答えられるはずだよ。問題集で、いろいろな場面を「おく」から解いてみよう。