変域

x が －2 から 3 まで動くとき、
y＝x² は、どこからどこまで動く？

1次関数では、x の変域の両はしの y を計算すれば、y の変域が決まったね。y＝x² でも、同じやり方でいいのかな？

1. 両はしだけで考えると…

関数 y＝x² で、x の変域を －2≦x≦3 とするよ。x は －2 から 3 までの数（－2 と 3 もふくむ）をとる、ということだね。このとき、y はどんな値をとるだろう。

両はしの y を計算してみると、

• x＝－2 のとき y＝(－2)²＝4
• x＝3 のとき y＝3²＝9

だから、y の変域は 4≦y≦9……と考えたくなるね。本当にそうかな。x を －2 から 3 まで少しずつ動かして、y がどう変わるかを見てみよう。黄色の点が、グラフの上を動いていくよ。x 軸にそってぬった帯が、x の変域だよ。

発見x が －2 から 3 まで動くとき、y はいったん小さくなって x＝0 で 0 になり、そのあと大きくなる。y の変域は 4≦y≦9 ではなく、0≦y≦9。

表でも確かめてみよう。x の変域の中の整数で y を計算すると、次のようになる。

x＝－2 から x＝0 までは、x が 0 に近づくので y は小さくなっていく。x＝0 で y＝0 がいちばん小さい。そこからは y が大きくなって、x＝3 で y＝9 がいちばん大きい。とちゅうの x＝－1 では y＝1、x＝1 でも y＝1 で、4 より小さい値もとっているね。だから「4≦y≦9」はまちがいなんだ。

2. x の変域に 0 をふくむとき

1次関数とくらべてみよう。1次関数 y＝2x＋1 で －2≦x≦3 なら、x＝－2 で y＝－3、x＝3 で y＝7。グラフは右上がりの直線なので、x が増えると y もずっと増える。とちゅうで y が －3 より小さくなることはないので、y の変域は －3≦y≦7 と、両はしだけで決まった。

グラフで考えると、y＝x² ではそうならない理由がよくわかるよ。y＝x² のグラフは、原点がいちばん下の点（頂点）だった。x の変域に 0 をふくむと、グラフのいちばん下の点が、x の変域の中に入ってしまう。だから、y の最小値は両はしではなく、x＝0 のときの 0 になるんだ。

y の最大値は、両はしのうち、0 から遠い方で決まる。－2 と 3 では、3 の方が 0 から遠い（絶対値が大きい）ので、x＝3 のときの y＝9 が最大値だよ。グラフは y 軸について対称だから、0 から遠いほど y が大きくなるんだね。

ポイントy＝ax²（a＞0）で、x の変域に 0 をふくむとき、y の最小値は 0。最大値は、x の変域の両はしのうち、絶対値が大きい方の y。

変域を求めるときは、いつもグラフをかいてみよう。計算だけでは、0 の所を見落としやすい。グラフは、ていねいでなくてもいい。原点が頂点で、上に開いているか下に開いているかがわかる、だいたいの形で十分だよ。その上に x の変域の両はしをしるして、グラフのどの部分を使うのかを太くなぞろう。なぞった部分の、いちばん下といちばん上を読めば、y の変域になる。

y の変域は、次の順で求めるとまちがえにくいよ。

1. 式を求める（y＝ax² とおいて a を決める）。
2. だいたいのグラフをかき、x の変域の部分をなぞる。
3. x の変域に 0 をふくむかを確かめる。
4. 両はしの y と、0 をふくむなら x＝0 のときの y＝0 をならべて、いちばん小さい値といちばん大きい値を選ぶ。
5. 小さい方から「□≦y≦□」と書く。

3. x の変域に 0 をふくまないとき

x の変域に 0 をふくまないときは、両はしの y だけで決まる。

• 1≦x≦3 のとき：x＝1 で y＝1、x＝3 で y＝9。y の変域は 1≦y≦9。
• －3≦x≦－1 のとき：x＝－3 で y＝9、x＝－1 で y＝1。

2つ目は、どう書けばいいかな。

x の変域が負の数の所だけのとき、x が大きくなると y は小さくなる（グラフの左半分は右下がり）。だから、x の変域の左はし（x＝－3）で y が最大、右はし（x＝－1）で y が最小になる。y の変域は、小さい方から書いて 1≦y≦9 だよ。「x の左はしの y を左に書く」のではなく、「y の小さい方を左に書く」んだ。9≦y≦1 と書くと、「9 以上で 1 以下」という、ありえない範囲になってしまうね。

4. a が負の数のとき

a が負の数なら、グラフは下に開く放物線。こんどは頂点の原点が、いちばん上の点になるね。y＝－12x² で、x の変域が －4≦x≦2 のときを調べよう。

発見a＜0 で x の変域に 0 をふくむときは、y の最大値が 0 になる。y＝－(1/2)x² で －4≦x≦2 なら、y の変域は －8≦y≦0。

両はしは、x＝－4 で y＝－12×(－4)²＝－8、x＝2 で y＝－12×2²＝－2。両はしだけ見ると －8≦y≦－2 としたくなるけれど、x＝0 のときの y＝0 がいちばん大きい値だよ。最小値は、0 から遠い x＝－4 のときの －8。a＞0 のときと、大きい・小さいが入れかわっているね。

a＜0 で x の変域に 0 をふくまないときは、両はしで決まる。たとえば同じ y＝－12x² で 1≦x≦2 なら、x＝1 で y＝－12×1²＝－12、x＝2 で y＝－2。x が大きくなると y は小さくなる（グラフの右半分は右下がり）ので、y の変域は －2≦y≦－1/2。ここでも、y の小さい方（－2）を左に書くよ。負の数の大小に気をつけよう。－2 と －1/2 では、－2 の方が小さいね。

ここまでの4つの場合を、表にまとめておこう。

5. 例題：7つの段階で

例題1　y は x の2乗に比例し、x＝2 のとき y＝8 です。x の変域が －1≦x≦3 のとき、y の変域を求めなさい。

• おく：y は x の2乗に比例するから、y＝ax² とおく。
• 入れる：8＝a×2²、つまり 8＝4a。
• 求める：a＝8÷4＝2
• 式にする：y＝2x²
• 使う：両はしの y を求める。x＝－1 のとき y＝2×(－1)²＝2、x＝3 のとき y＝2×3²＝18。x の変域に 0 をふくむので、x＝0 のときの y＝0 が最小値。最大値は、0 から遠い x＝3 のときの 18。
• 確かめる：グラフをかくと、上に開いた放物線の、x＝－1 から x＝3 までの部分。いちばん下は原点、いちばん上は x＝3 の点。合っているね。

答え　0≦y≦18

例題2　関数 y＝ax² で、x の変域が －2≦x≦4 のとき、y の変域は 0≦y≦8 です。a の値を求めなさい。

y の変域から、反対に a を求める問題だよ。

• おく：y＝ax² とおく。y の最小値が 0 で、y は正の値もとるから、a＞0（上に開く）だね。
• 入れる：a＞0 だから、y が最大になるのは、x の変域の両はしのうち、0 から遠い x＝4 のとき。そのとき y＝8 だから、8＝a×4²、つまり 8＝16a。
• 求める：a＝8÷16＝12
• 式にする：y＝12x²
• 確かめる：x＝－2 のとき y＝12×(－2)²＝2、x＝4 のとき y＝12×4²＝8、x＝0 のとき y＝0。y の変域は 0≦y≦8 になって、問題と合っているね。

答え　a＝1/2

ここで、x＝－2 の方に y＝8 を入れて 8＝a×(－2)² とすると、a＝2 になってしまう。でも、a＝2 だと x＝4 のとき y＝32 で、y の変域は 0≦y≦32 になり、問題と合わない。「どちらの x で最大になるか」を、グラフで確かめてから入れよう。

もし x の変域が －4≦x≦2 で、y の変域が同じ 0≦y≦8 だったら、どうなるかな。こんどは 0 から遠いのは －4 の方。だから x＝－4 のとき y＝8 で、8＝a×(－4)²、つまり 16a＝8 で、やはり a＝1/2。「右はしで最大」ではなく、「0 から遠い方で最大」と考えるんだね。

例題3　高さ 45 m の所から、ボールを静かに落とします。落ちはじめてから x 秒間に落ちる距離を y m とすると、y はおよそ 5x² と表されます。ボールが地面に着くまでの、x の変域と y の変域を求めなさい。

場面の問題では、変域は問題文から決まるよ。

• おく：時間を x 秒、落ちた距離を y m として、およそ y＝5x²（問題文で式がわかっている）。
• 使う：落ちる距離 y は、0 m から 45 m まで。地面に着く時間は、y＝45 を入れて 45＝5x²、x²＝9、x＝3、－3。
• 確かめる：x は時間なので x≧0。x＝3 を選ぶ。落とした瞬間の x＝0 から、地面に着くおよそ x＝3 まで。式が「およそ」なので、時間も「およそ3秒」だね。

答え　x の変域 およそ 0≦x≦3、y の変域 0≦y≦45

場面の変域は、「時間は負の数にならない」「地面より下には落ちない」ことから決まるんだ。場面では、x の変域をまず決めて、それから y の変域を考えるよ。

次は、y＝ax² の「増え方」を、変化の割合で調べよう。