変化の割合

落ちるボールの速さは、
ずっと同じ？

中2の1次関数では、変化の割合はいつも同じだったね。y＝ax² では、どうなるかな？

1. 1秒ごとに落ちる距離

解説1 のボールの表を、もう一度見てみよう。落ちはじめてからの時間を x 秒、落ちた距離を y m とすると、およそ y＝5x² だったね。こんどは、「それぞれの1秒間に何 m 落ちたか」を調べてみよう。上の矢印が x の増え方、下の矢印が y の増え方だよ。

発見x が1ずつ増えても、y の増え方は 5、15、25、35 とだんだん大きくなる。y＝5x² では、y の増え方は一定ではない。

同じ1秒間でも、あとの1秒間ほど、たくさん落ちている。ボールがどんどん速くなっているからだよ。しかも、1秒ごとの距離はおよそ 5、15、25、35 m と、10 m ずつ大きくなっている。これもおもしろい決まりだね（理由は「数学ではどう考える？」で）。

5、15、25、35 は、5×1、5×3、5×5、5×7 と書ける。1秒ごとの距離は、はじめの1秒の 1倍、3倍、5倍、7倍と、奇数の倍になっているんだ。そして 1＋3＝4、1＋3＋5＝9、1＋3＋5＋7＝16。奇数を順にたしていくと、2乗の数 4、9、16 が出てくる。2秒間の合計が1秒間の4倍、3秒間の合計が9倍になるのは、このためだよ。

1次関数 y＝2x＋1 なら、x が1増えるごとに y はいつも 2 増えた。増え方がいつも同じだから、グラフはまっすぐな直線になった。y＝5x² では、増え方が変わっていくので、グラフは曲がっていくんだ。

2. 変化の割合を求めよう

中2で学んだ 変化の割合 を思い出そう。

変化の割合＝（y の増加量）÷（x の増加量）

1次関数 y＝ax＋b では、変化の割合はいつも a で一定だった。y＝ax² ではどうだろう。y＝x² で、x の範囲をいろいろ変えて調べてみよう。

発見y＝x² の変化の割合は、x の範囲によって変わる。1 から 2 までは 3、2 から 3 までは 5、1 から 3 までは 4、－3 から －2 までは －5。一定ではない。

x の増加量が同じ1でも、x が 1 から 2 のときと 2 から 3 のときで、y の増加量はちがう。グラフが曲線だから、場所によって傾きぐあいがちがうんだ。

変化の割合を計算するときは、増加量を「あと－まえ」で求めよう。x が 1 から 3 まで増えるとき、

• x の増加量：3－1＝2
• y の増加量：3²－1²＝9－1＝8
• 変化の割合：8÷2＝4

変化の割合 4 は、グラフの上の2点 (1, 1) と (3, 9) を結んだ直線の傾きになっているよ（図の点線）。1次関数で学んだ「傾き」と、同じ意味だね。y＝ax² の変化の割合は、「グラフの上の2点を結んだ直線の傾き」と考えることができるんだ。

x が負の数の所では、どうなるかな。x が －3 から －2 まで増えるとき、y は 9 から 4 へ減る。y の増加量は「あと－まえ」で 4－9＝－5。x の増加量は －2－(－3)＝1。変化の割合は －5÷1＝－5 で、負の数になる。グラフの左半分は右下がりだからだね。

では、a が 1 でないときも確かめてみよう。

ポイントy＝ax² の変化の割合は一定ではない。x がどこからどこまで増えるかによって変わるので、いつも「x が □ から □ まで増えるとき」と範囲を決めて計算する。「変化の割合は a」は1次関数の決まりで、y＝ax² では使えない。

3. 1次関数とくらべよう

1次関数 y＝2x＋1 と、y＝x² の表をならべてみよう。まん中の行が x だよ。

1次関数 y＝2x＋1 では、x が1増えると y はいつも 2 増える。変化の割合はどこでも 2 で、グラフはまっすぐな直線。y＝x² では、x が1増えるごとの y の増加量が 1、3、5、7 と変わっていき、グラフは曲がっていく。

a の符号と x の範囲で、変化の割合の符号がどうなるかも見ておこう。y＝x²（a＞0）では、

• x が正の数の所で増えるとき（たとえば 1 から 3）：y も増えるので、変化の割合は正の数。
• x が負の数の所で増えるとき（たとえば －3 から －2）：y は減るので、変化の割合は負の数。
• x が －2 から 2 まで増えるとき：y は 4 から 4 で、増加量は 0。変化の割合は 0。

a＜0 のときは、正と負が反対になる。1次関数では、変化の割合の符号は a の符号だけで決まったけれど、y＝ax² では x の範囲でも変わるんだ。

例題1　y＝－2x² で、x が 1 から 3 まで増えるときの変化の割合を求めなさい。

• x＝1 のとき y＝－2×1²＝－2、x＝3 のとき y＝－2×3²＝－18。
• x の増加量は 3－1＝2、y の増加量は －18－(－2)＝－16。
• 変化の割合は －16÷2＝－8。

答え　－8

a＜0 なので、x が正の数の所で増えると、y は減る。変化の割合が負の数になるのは、グラフの右半分が右下がりだからだね。y の増加量を計算するとき、－18－(－2) のひき算で符号をまちがえやすいので、かっこをつけて計算しよう。

変化の割合を求める手順は、いつも同じだよ。

1. x がどこからどこまで増えるかを確かめ、その2つの x を式に入れて y を求める。
2. x の増加量と y の増加量を、どちらも「あと－まえ」で求める。
3. （y の増加量）÷（x の増加量）を計算する。
4. 符号が、グラフの向き（右上がりか右下がりか）と合っているか確かめる。

4. 平均の速さ

落ちるボールの話にもどろう。「2秒後から4秒後までに、ボールは平均して秒速何 m で落ちたか」を考えるよ。

小学校で学んだ速さは、（道のり）÷（時間）だったね。2秒後から4秒後までに進んだ道のり（落ちた距離）は、y の増加量。かかった時間は、x の増加量。だから、

平均の速さ＝（y の増加量）÷（x の増加量）＝変化の割合

時間と距離の関係では、変化の割合は、その間の 平均の速さ を表しているんだ。

2秒後から4秒後までの平均の速さは、

• x の増加量：4－2＝2（秒）
• y の増加量：5×4²－5×2²＝80－20＝60（m）
• 平均の速さ：60÷2＝30 で、秒速およそ 30 m

1秒ごとの表でも見てみよう。0秒から1秒までの平均の速さは秒速およそ 5 m、1秒から2秒までは秒速およそ 15 m、2秒から3秒までは秒速およそ 25 m、3秒から4秒までは秒速およそ 35 m。ボールはどんどん速くなっているね。変化の割合が一定でないことは、「速さが変わっていく」ことを表しているんだ。

しかも、1秒ごとの平均の速さは 5、15、25、35 と、いつも秒速 10 m ずつ増えている。落ちるボールは、1秒ごとにおよそ秒速 10 m ずつ速くなっていく、ということだね（空気の影響を考えないとき。くわしくは秒速 9.8 m ずつ）。速さの増え方は一定で、距離の増え方は一定ではない。この2つを区別しておこう。

「平均の」とつけるのは、その間ずっとその速さで落ちたわけではないからだよ。2秒後から4秒後までの間、ボールは秒速およそ 30 m よりおそいときも速いときもあった。平らにならすと秒速およそ 30 m になる、という意味なんだ。

では、「ちょうど4秒後の速さ」はどう考えればいいだろう。時間の範囲をせまくしていくと、平均の速さは、その時刻の速さに近づいていく。3秒後から4秒後までなら、(80－45)÷1＝35 で秒速およそ 35 m。3.9秒後から4秒後までなら、3.9秒で 5×3.9²＝76.05 m 落ちているので、(80－76.05)÷0.1＝39.5 で秒速およそ 39.5 m。範囲をせまくするほど、秒速 40 m に近づいていくよ。4秒後のボールは、およそ秒速 40 m で落ちているんだ。

例題を7つの段階で解いてみよう。

例題2　ゆるやかな斜面の上にボールを置いて、静かに手をはなします。転がりはじめてから x 秒間に転がる距離を y m とすると、y は x の2乗に比例し、2秒間で 2 m 転がりました。転がりはじめて2秒後から4秒後までの平均の速さを求めなさい。

• おく：時間を x 秒、距離を y m とする。距離は時間の2乗に比例するから、y＝ax² とおく。
• 入れる：2＝a×2²、つまり 2＝4a。
• 求める：a＝2÷4＝12
• 式にする：y＝12x²
• 使う：x＝2 のとき y＝2、x＝4 のとき y＝12×4²＝8。平均の速さは (8－2)÷(4－2)＝6÷2＝3。
• 確かめる：2秒後から4秒後までの2秒間に、2 m の所から 8 m の所まで 6 m 進んだ。6÷2＝3 で、秒速 3 m。はじめの2秒間の平均の速さ（2÷2＝1 で秒速 1 m）より速い。だんだん速くなる場面と合っているね。

答え　秒速 3 m

次は、y＝ax² を身のまわりの場面や、放物線と直線の問題で使ってみよう。