y＝ax² の場面 006
橋の上から小石を静かに落とします。落ちる距離は落ちはじめてからの時間の2乗に比例し、2 秒間でおよそ 20 m 落ちるとします（空気の影響は考えない）。水面までの高さが 45 m のとき、小石が水面に着くのは、落ちはじめてからおよそ何秒後ですか。
どの形式で解くか、上のボタンでえらべるよ。
✏ 答案に書く の枠が、答案（ノート）に書くこと。そのほかは解説だよ。最後に「模範答案」があるよ。
1. 図
表や図で、ともなって変わる2つの量を見つけよう。x が2倍・3倍になると、y はどうなるかな？
2. おく
x と y が何の量かを1文で書いて、関係の形を決めよう。2乗に比例するなら y＝ax² とおくよ。a は、まだわからない数だね。
やってみよう：形をえらぶ
x と y の関係は、どの形でおける？
- ヒント1／3：x が2倍になると、y は何倍になっているかな？ 4倍なら「2乗に比例」だよ。
- ヒント2／3：y÷x² がいつも同じ数になっていれば、y＝ax² とおけるよ。
✏ 答案に書く
落ちはじめてからの時間を x 秒、落ちる距離を y m とする。
落ちる距離は時間の2乗に比例するから、y＝
解説：a は、まだわからない数。次の「3. 入れる」で、わかっていることを使って決めるよ。
3. 入れる
わかっている x と y の組を、おいた式に入れよう。x² を先に計算するよ。
✏ 答案に書く
x＝2 のとき y＝20 だから、y＝
20＝
4. 求める
おいた式の、まだわからない数（a など）についての方程式になったね。y＝ax² なら、両辺を x² の値でわろう。関数が2つあるときは、2つ目の式の数（b や、直線の m・n、k など）も、それぞれ求めるよ。
✏ 答案に書く
4a＝
a＝
5. 式にする
求めた数（a など）を、おいた式に戻すと、x と y の関係が1つの式になるよ。
✏ 答案に書く
a＝5 を y＝
y＝
6. 使う
式ができれば、どんな x でも y がわかる。y から x を求めるときは、x が2つある場合に気をつけよう。
✏ 答案に書く
聞かれているのは、落ちる距離が 45 m になる時間だから、y＝45 を代入する。
y＝
45＝
x2＝
x は、2乗すると 9 になる数だから、x＝3 または x＝－3。
時間は正の数だから、x＝3。
7. 確かめる
はじめの組や、ほかの組に戻して、式が合っているか確かめよう。
✏ 答案に書く
はじめの組、x＝2、y＝20 を y＝
解説：答えを問題の場面に戻すと
3 秒間に落ちる距離は 5×3²＝45 m で、橋の高さと合う。2 秒で 20 m だから、45 m には 2 秒より長くかかるはずで、3 秒後はおかしくない。
✏ 答案に書く
小石が水面に着くのは、落ちはじめてからおよそ 3 秒後である。
答え およそ 3 秒後
模範答案
答案（ノート）には、右側の文と式を上から順に書こう。色の枠 は段階の名前だから、答案には書かないよ。
- おく落ちはじめてからの時間を x 秒、落ちる距離を y m とする。
落ちる距離は時間の2乗に比例するから、y＝ax2 とおく（問題文）。 - 入れるx＝2 のとき y＝20 だから、y＝
ax2 に代入すると、
20＝a×22 - 求める4a＝
20
a＝20÷4＝ 5 - 式にするa＝5 を y＝
ax2 に戻すと、
y＝5x2 - 使う聞かれているのは、落ちる距離が 45 m になる時間だから、y＝45 を代入する。
y＝5x2 に y＝45 を代入すると、
45＝5x2
x2＝45÷5＝ 9
x は、2乗すると 9 になる数だから、x＝3 または x＝－3。
時間は正の数だから、x＝3。 - 確かめるはじめの組、x＝2、y＝20 を y＝
5x2 に入れると、y＝5×22＝ 。合っている。20
小石が水面に着くのは、落ちはじめてからおよそ 3 秒後である。
答え およそ 3 秒後
解けたね！ どうしてその形でおけたのか、自分の言葉で言えたかな？ 次は、ちがう分野の問題にも挑戦してみよう。
もっと見たい人へ（開くと表示されるよ）
その形でおける理由を自分の言葉で書く（「2. おく」のふり返り）
自分の言葉で書くと、ぐっとわかるようになるよ。
「2. おく」で、y＝
なぜ、その形でおけると言えるのかな？ 自分の言葉で書いてみよう。
ヒント：問題文の言葉や、表で x が2倍・3倍になったときの y の変わり方を使って書こう。
模範を見る
問題文に「落ちる距離は…時間の2乗に比例し」とあるから。時間を x 秒、距離を y m とすると、y＝ax² とおける。
間違い探し
まちがいは、伸びる材料だよ。どこが違うか探してみよう。
この問題で起きやすいまちがいを、つまずきやすいポイントごとに並べたよ。どこが違うか考えてから開いてみよう。
2乗の計算のまちがいつまずきやすい段階：「使う」
Aさんはこう書きました：x²＝9 だから 9 秒後 どこが違う？
なぜそう書きたくなる？x² を求めたところで、答えが出たと思ってしまう。
どう確かめる？9 秒間だと 5×9²＝405 m も落ちる。2乗して 9 になる数 3 が x。
気づくコツ：x² は x×x。(－3)² は 9、－3² は －9 だよ。2倍ではなく、同じ数を2回かけるよ。
聞かれていることとのずれつまずきやすい段階：「確かめる」
Aさんはこう書きました：x＝3、－3 だから －3 秒後 どこが違う？
なぜそう書きたくなる？計算で出てきた2つの x のうち、どちらを選ぶかを考えずに答えてしまう。
どう確かめる？x は落ちはじめてからの時間なので、正の数。x＝3 を選ぶ。
気づくコツ：最後に問題文をもう一度読んで、聞かれている量（x か y か、何の量か）で答えよう。
形の取りちがえつまずきやすい段階：「おく」
Aさんはこう書きました：y＝10x として x＝4.5 どこが違う？
なぜそう書きたくなる？「2 秒で 20 m」から、1 秒に 10 m ずつ落ちると考えてしまう。
どう確かめる？落ちるものはだんだん速くなるので、1 秒ごとに同じ距離ではない。4.5 秒間なら 5×4.5²＝101.25 m も落ちる。
気づくコツ：表で x を2倍・3倍したとき y がどうなるか、x＝0 のとき y はいくつかを見ると、どの形でおけるかがわかるよ。
ここまで理解できている？（前の学習）
つまずいたら、前に学んだところに戻っても大丈夫！
この問題は、次のことが分かっていれば解けるよ。1つずつ確かめよう。
- 2乗すると a になる数を a の平方根という。正の数の平方根は、正と負の2つある。
中3「平方根」を確かめる
ためしに1問：x²＝49 を満たす x は？
答えを見る
x＝7、－7
- 比例は y＝ax。x が2倍になると y も2倍。y＝ax² は「x² に比例する」関数。
中1「比例」を確かめる
ためしに1問：y は x に比例し、x＝2 のとき y＝6。x＝5 のとき y は？
答えを見る
a＝3 で、y＝15