放物線と直線 009
関数 y＝ax² のグラフ（放物線）は点 (－2, －4) を通ります。直線 ℓ は2点 (2, 1)、(3, 3) を通ります。放物線と直線 ℓ の交点のうち、x 座標が負の点の座標を求めなさい。
どの形式で解くか、上のボタンでえらべるよ。
✏ 答案に書く の枠が、答案（ノート）に書くこと。そのほかは解説だよ。最後に「模範答案」があるよ。
1. 図
表や図で、ともなって変わる2つの量を見つけよう。x が2倍・3倍になると、y はどうなるかな？
2. おく
x と y が何の量かを1文で書いて、関係の形を決めよう。2乗に比例するなら y＝ax² とおくよ。a は、まだわからない数だね。
✏ 答案に書く
グラフの横の軸を x 軸、たての軸を y 軸とする。
放物線は関数 y＝ax² のグラフだと問題文にあるから、y＝
ℓ は2点を通る直線だから、y＝
解説：a・m・n は、まだわからない数。次の「3. 入れる」で、わかっていることを使って決めるよ。
3. 入れる
わかっている x と y の組を、おいた式に入れよう。x² を先に計算するよ。
✏ 答案に書く
放物線：
x＝－2 のとき y＝－4 だから、y＝
－4＝
ℓ：
x＝2 のとき y＝1 だから、1＝
x＝3 のとき y＝3 だから、3＝
4. 求める
おいた式の、まだわからない数（a など）についての方程式になったね。y＝ax² なら、両辺を x² の値でわろう。関数が2つあるときは、2つ目の式の数（b や、直線の m・n、k など）も、それぞれ求めるよ。
✏ 答案に書く
放物線：
4a＝
a＝
ℓ：
②－①より、2＝
m＝2 を①に代入すると、1＝
n＝
5. 式にする
求めた数（a など）を、おいた式に戻すと、x と y の関係が1つの式になるよ。
✏ 答案に書く
放物線：
a＝－1 を y＝
y＝
ℓ：
m＝2、n＝－3 を y＝
y＝
6. 使う
式ができれば、どんな x でも y がわかる。y から x を求めるときは、x が2つある場合に気をつけよう。
✏ 答案に書く
2つの式の y を等しいとおくと、－x2＝
移項して整理すると、x2＋
(x＋
x＝－3、1
x 座標が負の点だから、x＝－3。
x＝－3 を y＝
7. 確かめる
はじめの組や、ほかの組に戻して、式が合っているか確かめよう。
✏ 答案に書く
放物線が通る点の組、x＝－2、y＝－4 を y＝
ℓ が通る点の組、x＝2、y＝1 を y＝
求めた交点の組、x＝－3、y＝－9 を y＝
✏ 答案に書く
放物線と直線 ℓ の交点のうち、x 座標が負の点の座標は (－3, －9) である。
答え (－3, －9)
模範答案
答案（ノート）には、右側の文と式を上から順に書こう。色の枠 は段階の名前だから、答案には書かないよ。
- おくグラフの横の軸を x 軸、たての軸を y 軸とする。
放物線は関数 y＝ax² のグラフだと問題文にあるから、y＝ax2 とおく。
ℓ は2点を通る直線だから、y＝mx＋ とおく。n - 入れる放物線：
x＝－2 のとき y＝－4 だから、y＝ax2 に代入すると、
－4＝a×(－2)2
ℓ：
x＝2 のとき y＝1 だから、1＝2m＋ …①n
x＝3 のとき y＝3 だから、3＝3m＋ …②n - 求める放物線：
4a＝－4
a＝－4÷4＝ －1
ℓ：
②－①より、2＝m
m＝2 を①に代入すると、1＝2×2＋ n
n＝1－ 4＝ －3 - 式にする放物線：
a＝－1 を y＝ax2 に戻すと、
y＝－x2
ℓ：
m＝2、n＝－3 を y＝mx＋ に戻すと、n
y＝2x－ 3 - 使う2つの式の y を等しいとおくと、－x2＝
2x－ 3
移項して整理すると、x2＋2x－ 3＝ 0
(x＋3)(x－ 1)＝ 0
x＝－3、1
x 座標が負の点だから、x＝－3。
x＝－3 を y＝－x2 に代入すると、y＝－1×(－3)2＝ －9 - 確かめる放物線が通る点の組、x＝－2、y＝－4 を y＝
－x2 に入れると、y＝－1×(－2)2＝ 。合っている。－4
ℓ が通る点の組、x＝2、y＝1 を y＝2x－ に入れると、y＝3 2×2－ 。合っている。3＝ 1
求めた交点の組、x＝－3、y＝－9 を y＝2x－ に入れると、y＝3 2×(－3)－ 。合っている。3＝ －9
放物線と直線 ℓ の交点のうち、x 座標が負の点の座標は (－3, －9) である。
答え (－3, －9)
解けたね！ どうしてその形でおけたのか、自分の言葉で言えたかな？ 次は、ちがう分野の問題にも挑戦してみよう。
もっと見たい人へ（開くと表示されるよ）
その形でおける理由を自分の言葉で書く（「2. おく」のふり返り）
自分の言葉で書くと、ぐっとわかるようになるよ。
「2. おく」で、y＝
なぜ、その形でおけると言えるのかな？ 自分の言葉で書いてみよう。
ヒント：問題文の言葉や、表で x が2倍・3倍になったときの y の変わり方を使って書こう。
模範を見る
放物線は関数 y＝ax² のグラフだから y＝ax²、ℓ は直線だから y＝mx＋n とおける。交点は両方のグラフの上にあるので、交点の x では2つの式の y の値が等しい。
間違い探し
まちがいは、伸びる材料だよ。どこが違うか探してみよう。
この問題で起きやすいまちがいを、つまずきやすいポイントごとに並べたよ。どこが違うか考えてから開いてみよう。
聞かれていることとのずれつまずきやすい段階：「確かめる」
Aさんはこう書きました：(1, －1) どこが違う？
なぜそう書きたくなる？2つの交点のうち、どちらを聞かれているかを確かめずに答えてしまう。
どう確かめる？x²＋2x－3＝0 の解は x＝－3、1。x 座標が負の点は x＝－3。
気づくコツ：最後に問題文をもう一度読んで、聞かれている量（x か y か、何の量か）で答えよう。
2乗の計算のまちがいつまずきやすい段階：「使う」
Aさんはこう書きました：y＝－(－3)²＝9 どこが違う？
なぜそう書きたくなる？(－3)² と －(－3)² を取りちがえてしまう。
どう確かめる？－(－3)² は、(－3)²＝9 に －をつけた数で －9。ℓ の式に x＝－3 を入れても y＝2×(－3)－3＝－9 で合う。
気づくコツ：x² は x×x。(－3)² は 9、－3² は －9 だよ。2倍ではなく、同じ数を2回かけるよ。
ここまで理解できている？（前の学習）
つまずいたら、前に学んだところに戻っても大丈夫！
この問題は、次のことが分かっていれば解けるよ。1つずつ確かめよう。
- 1次関数 y＝ax＋b の変化の割合はいつも a で一定。グラフは直線。
中2「1次関数」を確かめる
ためしに1問：2点 (1, 2)、(3, 10) を通る直線の式は？
答えを見る
a＝(10－2)÷(3－1)＝4、b＝2－4＝－2 で、y＝4x－2
- x²＋px＋q＝0 は、左辺を因数分解できるときは、因数分解して「A×B＝0 なら A＝0 または B＝0」で解く。
中3「2次方程式」を確かめる
ためしに1問：x²－2x－8＝0 を解くと？
答えを見る
(x＋2)(x－4)＝0 で x＝－2、4
- x²＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)。たして x の係数、かけて定数の項になる2数 a、b をさがす。
中3「因数分解」を確かめる
ためしに1問：x²－5x＋6 を因数分解すると？
答えを見る
(x－2)(x－3)
- (－3)² は (－3)×(－3)＝9。－3² は －(3×3)＝－9。かっこの有無で答えが変わる。
中1「正負の数と累乗」を確かめる
ためしに1問：(－4)² は？
答えを見る
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