放物線と直線 006
関数 y＝ax² のグラフ（放物線）は点 (1, 2) を通ります。直線 ℓ は2点 (－3, －2)、(1, 6) を通り、放物線と2点 A、B で交わります（A の x 座標は負、B の x 座標は正）。原点を O とするとき、△OAB の面積を求めなさい。
どの形式で解くか、上のボタンでえらべるよ。
✏ 答案に書く の枠が、答案（ノート）に書くこと。そのほかは解説だよ。最後に「模範答案」があるよ。
1. 図
表や図で、ともなって変わる2つの量を見つけよう。x が2倍・3倍になると、y はどうなるかな？
2. おく
x と y が何の量かを1文で書いて、関係の形を決めよう。2乗に比例するなら y＝ax² とおくよ。a は、まだわからない数だね。
✏ 答案に書く
グラフの横の軸を x 軸、たての軸を y 軸とする。
放物線は関数 y＝ax² のグラフだと問題文にあるから、y＝
ℓ は2点を通る直線だから、y＝
解説：a・m・n は、まだわからない数。次の「3. 入れる」で、わかっていることを使って決めるよ。
3. 入れる
わかっている x と y の組を、おいた式に入れよう。x² を先に計算するよ。
✏ 答案に書く
放物線：
x＝1 のとき y＝2 だから、y＝
2＝
ℓ：
x が －3 から 1 まで 4 増えると、y は －2 から 6 まで 8 増える。
1次関数では、変化の割合が m になる。（変化の割合）＝（y の増加量）÷（x の増加量）に入れると、
4. 求める
おいた式の、まだわからない数（a など）についての方程式になったね。y＝ax² なら、両辺を x² の値でわろう。関数が2つあるときは、2つ目の式の数（b や、直線の m・n、k など）も、それぞれ求めるよ。
✏ 答案に書く
放物線：
a＝
ℓ：
m＝
y＝
n＝
5. 式にする
求めた数（a など）を、おいた式に戻すと、x と y の関係が1つの式になるよ。
✏ 答案に書く
放物線：
a＝2 を y＝
y＝
ℓ：
m＝2、n＝4 を y＝
y＝
6. 使う
式ができれば、どんな x でも y がわかる。y から x を求めるときは、x が2つある場合に気をつけよう。
✏ 答案に書く
2つの式の y を等しいとおくと、2x2＝
移項して整理すると、x2－
(x＋
x＝－1、2
B の x 座標は正だから、x＝2。
x＝2 を y＝
A の x 座標は －1、B の x 座標は 2。ℓ と y 軸の交点を C とすると、C(0, 4)。
△OAB を y 軸で △OAC と △OBC に分けると、どちらも OC＝4 を底辺とし、高さはそれぞれ 1 と 2 になる。
△OAB＝12×4×1＋
7. 確かめる
はじめの組や、ほかの組に戻して、式が合っているか確かめよう。
✏ 答案に書く
放物線が通る点の組、x＝1、y＝2 を y＝
ℓ が通る点の組、x＝1、y＝6 を y＝
求めた点 B の組、x＝2、y＝8 を y＝
✏ 答案に書く
△OAB の面積は 6 である。
答え 6
模範答案
答案（ノート）には、右側の文と式を上から順に書こう。色の枠 は段階の名前だから、答案には書かないよ。
- おくグラフの横の軸を x 軸、たての軸を y 軸とする。
放物線は関数 y＝ax² のグラフだと問題文にあるから、y＝ax2 とおく。
ℓ は2点を通る直線だから、y＝mx＋ とおく。n - 入れる放物線：
x＝1 のとき y＝2 だから、y＝ax2 に代入すると、
2＝a×12
ℓ：
x が －3 から 1 まで 4 増えると、y は －2 から 6 まで 8 増える。
1次関数では、変化の割合が m になる。（変化の割合）＝（y の増加量）÷（x の増加量）に入れると、 - 求める放物線：
a＝2
ℓ：
m＝84＝ 2
y＝2x＋ に x＝－3、y＝－2 を代入すると、－2＝n 2×(－3)＋ n
n＝－2－ (－6)＝ 4 - 式にする放物線：
a＝2 を y＝ax2 に戻すと、
y＝2x2
ℓ：
m＝2、n＝4 を y＝mx＋ に戻すと、n
y＝2x＋ 4 - 使う2つの式の y を等しいとおくと、2x2＝
2x＋ 4
移項して整理すると、x2－x－ 2＝ 0
(x＋1)(x－ 2)＝ 0
x＝－1、2
B の x 座標は正だから、x＝2。
x＝2 を y＝2x2 に代入すると、y＝2×22＝ 8
A の x 座標は －1、B の x 座標は 2。ℓ と y 軸の交点を C とすると、C(0, 4)。
△OAB を y 軸で △OAC と △OBC に分けると、どちらも OC＝4 を底辺とし、高さはそれぞれ 1 と 2 になる。
△OAB＝12×4×1＋12×4×2＝ 6 - 確かめる放物線が通る点の組、x＝1、y＝2 を y＝
2x2 に入れると、y＝2×12＝ 。合っている。2
ℓ が通る点の組、x＝1、y＝6 を y＝2x＋ に入れると、y＝4 2×1＋ 。合っている。4＝ 6
求めた点 B の組、x＝2、y＝8 を y＝2x＋ に入れると、y＝4 2×2＋ 。合っている。4＝ 8
△OAB の面積は 6 である。
答え 6
解けたね！ どうしてその形でおけたのか、自分の言葉で言えたかな？ 次は、ちがう分野の問題にも挑戦してみよう。
もっと見たい人へ（開くと表示されるよ）
その形でおける理由を自分の言葉で書く（「2. おく」のふり返り）
自分の言葉で書くと、ぐっとわかるようになるよ。
「2. おく」で、y＝
なぜ、その形でおけると言えるのかな？ 自分の言葉で書いてみよう。
ヒント：問題文の言葉や、表で x が2倍・3倍になったときの y の変わり方を使って書こう。
模範を見る
放物線は関数 y＝ax² のグラフだから y＝ax²、ℓ は直線だから y＝mx＋n とおける。交点 A・B の座標がわかれば、y 軸で三角形を分けて、面積を求められる。
間違い探し
まちがいは、伸びる材料だよ。どこが違うか探してみよう。
この問題で起きやすいまちがいを、つまずきやすいポイントごとに並べたよ。どこが違うか考えてから開いてみよう。
グラフ・座標の読みちがいつまずきやすい段階：「図」
Aさんはこう書きました：△OAB＝△OBC＝(1/2)×4×2＝4 どこが違う？
なぜそう書きたくなる？B の方の三角形だけを見て、A の側を忘れてしまう。
どう確かめる？A は y 軸の左、B は右にある。y 軸で2つに分けて、両方をたす。
気づくコツ：座標は (x, y) の順。まず横（x）、次にたて（y）を読むよ。目もり1つ分がいくつかも確かめよう。
グラフ・座標の読みちがいつまずきやすい段階：「図」
Aさんはこう書きました：OC＝2 として (1/2)×2×1＋(1/2)×2×2＝3 どこが違う？
なぜそう書きたくなる？ℓ の式 y＝2x＋4 の、傾き 2 と切片 4 を取りちがえる。
どう確かめる？C は ℓ と y 軸の交点なので、x＝0 を入れて y＝4。OC＝4。
気づくコツ：座標は (x, y) の順。まず横（x）、次にたて（y）を読むよ。目もり1つ分がいくつかも確かめよう。
ここまで理解できている？（前の学習）
つまずいたら、前に学んだところに戻っても大丈夫！
この問題は、次のことが分かっていれば解けるよ。1つずつ確かめよう。
- 1次関数 y＝ax＋b の変化の割合はいつも a で一定。グラフは直線。
中2「1次関数」を確かめる
ためしに1問：2点 (1, 2)、(3, 10) を通る直線の式は？
答えを見る
a＝(10－2)÷(3－1)＝4、b＝2－4＝－2 で、y＝4x－2
- x²＋px＋q＝0 は、左辺を因数分解できるときは、因数分解して「A×B＝0 なら A＝0 または B＝0」で解く。
中3「2次方程式」を確かめる
ためしに1問：x²－2x－8＝0 を解くと？
答えを見る
(x＋2)(x－4)＝0 で x＝－2、4
- x²＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)。たして x の係数、かけて定数の項になる2数 a、b をさがす。
中3「因数分解」を確かめる
ためしに1問：x²－5x＋6 を因数分解すると？
答えを見る
(x－2)(x－3)