速さ・動く点 008
長方形 ABCD があり、AB＝8 cm、BC＝6 cm です。点 P は B を出発し、辺 BC、CD 上を B→C→D の順に、毎秒 1 cm の速さで D まで動きます。P が B を出発してから x 秒後について、P が辺 CD 上にあるとき（6≦x≦14）の四角形 ABCP の面積を y cm² とします。四角形 ABCP の面積が 39 cm² になるのは、P が B を出発してから何秒後ですか。
どの形式で解くか、上のボタンでえらべるよ。
✏ 答案に書く の枠が、答案（ノート）に書くこと。そのほかは解説だよ。最後に「模範答案」があるよ。
1. 図
グラフや図で、区間ごとに、ともなって変わる2つの量を見つけよう。はじめの量（x＝0 のとき）と、1あたりに変わる量はどれかな？
P が C に着くのは 6 秒後で、そのとき四角形 ABCP は三角形 ABC になり、8×6÷2＝24 cm²。D に着くのは 14 秒後で、長方形全体の 48 cm² になるよ。
2. おく
x と y が何の量かを1文で書いて、関係の形を決めよう。1次関数なら y＝ax＋b とおくよ。おいた式の文字は、まだわからない数だね。
やってみよう：形をえらぶ
x と y の関係は、どの形でおける？
- ヒント1／3：x が1増えるごとに、y はいつも同じだけ変わっているかな？ 変わる量が一定（0 ではない同じ量）なら1次関数だよ。
- ヒント2／3：x＝0 のときの y（はじめの量）が 0 でなければ、y＝ax＋b の b がある形だよ。
✏ 答案に書く
P が B を出発してからの時間を x 秒、P が辺 CD 上にあるときの四角形 ABCP の面積を y cm² とする。
P が辺 CD 上にあるとき、四角形 ABCP は台形で、高さ BC＝6 cm のまま、CP が 1 秒に 1 cm ずつ一定の割合でのびるから、y＝
解説：a・b は、まだわからない数。次の「3. 入れる」で、わかっていることを使って決めるよ。
3. 入れる
わかっている x と y の組（や、傾き・切片）を、おいた式に入れよう。
✏ 答案に書く
x＝6 のとき y＝24 だから、24＝
x＝14 のとき y＝48 だから、48＝
4. 求める
おいた式のわからない数（a と b など）を求めよう。2組わかっているときは、変化の割合か連立方程式で求めるよ。
✏ 答案に書く
②－①より、24＝
a＝
a＝3 を①に代入すると、24＝
b＝
5. 式にする
求めた数を、おいた式に戻すと、x と y の関係が1つの式になるよ。
✏ 答案に書く
a＝3、b＝6 を y＝
y＝
6. 使う
式ができれば、どんな x でも y がわかる。聞かれている数を求めよう。
✏ 答案に書く
聞かれているのは、面積が 39 cm² になる時間だから、y＝39 を代入する。
y＝
39＝
3x＝
x＝
7. 確かめる
はじめの組や、ほかの組に戻して、式が合っているか確かめよう。
✏ 答案に書く
P が C にあるときの組、x＝6、y＝24 を y＝
P が D にあるときの組、x＝14、y＝48 を y＝
解説：答えを問題の場面に戻すと
11 秒後、P は C から 5 cm 進んで CP＝5 cm。台形 ABCP の面積は (8＋5)×6÷2＝39 cm² で、問題と合う。11 は 6≦x≦14 の中に入っている。式の b＝6 は x＝0 のときの面積ではない（この式は P が CD 上にあるときだけ使う）。
✏ 答案に書く
四角形 ABCP の面積が 39 cm² になるのは、P が B を出発してから 11 秒後である。
答え 11 秒後
模範答案
答案（ノート）には、右側の文と式を上から順に書こう。色の枠 は段階の名前だから、答案には書かないよ。
- おくP が B を出発してからの時間を x 秒、P が辺 CD 上にあるときの四角形 ABCP の面積を y cm² とする。
P が辺 CD 上にあるとき、四角形 ABCP は台形で、高さ BC＝6 cm のまま、CP が 1 秒に 1 cm ずつ一定の割合でのびるから、y＝ax＋ とおく。b - 入れるx＝6 のとき y＝24 だから、24＝
6a＋ …①b
x＝14 のとき y＝48 だから、48＝14a＋ …②b - 求める②－①より、24＝
8a
a＝24÷8＝ 3
a＝3 を①に代入すると、24＝3×6＋ b
b＝24－ 18＝ 6 - 式にするa＝3、b＝6 を y＝
ax＋ に戻すと、b
y＝3x＋ 6 - 使う聞かれているのは、面積が 39 cm² になる時間だから、y＝39 を代入する。
y＝3x＋ に y＝39 を代入すると、6
39＝3x＋ 6
3x＝39－ 6＝ 33
x＝33÷3＝ 11 - 確かめるP が C にあるときの組、x＝6、y＝24 を y＝
3x＋ に入れると、y＝6 3×6＋ 。合っている。6＝ 24
P が D にあるときの組、x＝14、y＝48 を y＝3x＋ に入れると、y＝6 3×14＋ 。合っている。6＝ 48
四角形 ABCP の面積が 39 cm² になるのは、P が B を出発してから 11 秒後である。
答え 11 秒後
解けたね！ どうしてその形でおけたのか、自分の言葉で言えたかな？ 次は、ちがう分野の問題にも挑戦してみよう。
もっと見たい人へ（開くと表示されるよ）
その形でおける理由を自分の言葉で書く（「2. おく」のふり返り）
自分の言葉で書くと、ぐっとわかるようになるよ。
「2. おく」で、y＝
なぜ、その形でおけると言えるのかな？ 自分の言葉で書いてみよう。
ヒント：問題文の言葉や、表で x が2倍・3倍になったときの y の変わり方を使って書こう。
模範を見る
P が辺 CD 上にあるとき、台形 ABCP の高さ BC は 6 cm のままで、CP が 1 秒に 1 cm ずつのびるから。面積は 1 秒ごとに同じ 3 cm² ずつ増える。
間違い探し
まちがいは、伸びる材料だよ。どこが違うか探してみよう。
この問題で起きやすいまちがいを、つまずきやすいポイントごとに並べたよ。どこが違うか考えてから開いてみよう。
聞かれていることとのずれつまずきやすい段階：「確かめる」
Aさんはこう書きました：5 秒後 どこが違う？
なぜそう書きたくなる？P が C を出発してからの時間を答えてしまう。
どう確かめる？x は P が B を出発してからの時間。B から C まで 6 秒かかるので、6＋5＝11 秒後。
気づくコツ：最後に問題文をもう一度読んで、聞かれている量（x か y か、何の量か）で答えよう。
形の取りちがえつまずきやすい段階：「おく」
Aさんはこう書きました：y＝3x どこが違う？
なぜそう書きたくなる？面積が 1 秒に 3 cm² ずつ増えるので、比例と考えてしまう。
どう確かめる？x＝6（P が C）を入れると 18 cm² になり、三角形 ABC の 24 cm² と合わない。
気づくコツ：表で x を2倍・3倍したとき y がどうなるか、x＝0 のとき y はいくつかを見ると、どの形でおけるかがわかるよ。
ここまで理解できている？（前の学習）
つまずいたら、前に学んだところに戻っても大丈夫！
この問題は、次のことが分かっていれば解けるよ。1つずつ確かめよう。
- 2つの式をひいたり（加減法）、一方を他方に代入したり（代入法）して、文字を1つ消して解く。
中2「連立方程式」を確かめる
ためしに1問：7＝2a＋b、1＝－a＋b を解くと？
答えを見る
ひくと 6＝3a で a＝2、b＝3
- 移項して、x の項を左に、数の項を右に集めてから、x の係数でわる。
中1「1次方程式」を確かめる
ためしに1問：5＝3＋b を解くと？
答えを見る
b＝2
- 比例は y＝ax。x が1増えると y は a ずつ増え、グラフは原点を通る直線になる。
中1「比例と反比例」を確かめる
ためしに1問：y は x に比例し、x＝3 のとき y＝－12。比例定数は？
答えを見る
－12÷3＝－4