1次関数の場面 012
同じ形のコップを重ねていきます。コップは、1 個ふえるごとに、高さが同じだけ高くなります。3 個重ねると高さは 13 cm、7 個重ねると 19 cm になりました。高さがちょうど 40 cm になるのは、コップを何個重ねたときですか。
どの形式で解くか、上のボタンでえらべるよ。
✏ 答案に書く の枠が、答案（ノート）に書くこと。そのほかは解説だよ。最後に「模範答案」があるよ。
1. 図
場面の中で、ともなって変わる2つの量を見つけよう。はじめの量（x＝0 のとき）と、1あたりに変わる量はどれかな？
1 個ふえるごとに高くなるのは、コップのふちの部分だけだね。
2. おく
x と y が何の量かを1文で書いて、関係の形を決めよう。1次関数なら y＝ax＋b とおくよ。おいた式の文字は、まだわからない数だね。
やってみよう：形をえらぶ
x と y の関係は、どの形でおける？
- ヒント1／3：x が1増えるごとに、y はいつも同じだけ変わっているかな？ 変わる量が一定（0 ではない同じ量）なら1次関数だよ。
- ヒント2／3：x＝0 のときの y（はじめの量）が 0 でなければ、y＝ax＋b の b がある形だよ。
✏ 答案に書く
重ねたコップの個数を x 個、全体の高さを y cm とする。
コップが 1 個ふえるごとに、高さは同じだけ（一定の割合で）高くなるから、y＝
解説：a・b は、まだわからない数。次の「3. 入れる」で、わかっていることを使って決めるよ。
3. 入れる
わかっている x と y の組（や、傾き・切片）を、おいた式に入れよう。
✏ 答案に書く
x が 3 から 7 まで 4 増えると、y は 13 から 19 まで 6 増える。
1次関数では、変化の割合が a になる。（変化の割合）＝（y の増加量）÷（x の増加量）に入れると、
4. 求める
おいた式のわからない数（a と b など）を求めよう。2組わかっているときは、変化の割合か連立方程式で求めるよ。
✏ 答案に書く
a＝
y＝
b＝
5. 式にする
求めた数を、おいた式に戻すと、x と y の関係が1つの式になるよ。
✏ 答案に書く
a＝1.5、b＝8.5 を y＝
y＝
6. 使う
式ができれば、どんな x でも y がわかる。聞かれている数を求めよう。
✏ 答案に書く
聞かれているのは、高さが 40 cm になる個数だから、y＝40 を代入する。
y＝
40＝
1.5x＝
x＝
7. 確かめる
はじめの組や、ほかの組に戻して、式が合っているか確かめよう。
✏ 答案に書く
3 個の組、x＝3、y＝13 を y＝
7 個の組、x＝7、y＝19 を y＝
解説：答えを問題の場面に戻すと
21 個重ねると 1.5×21＋8.5＝40 cm で、問題と合う。1 個のときは 1.5＋8.5＝10 cm で、これがコップ1個の高さ。b＝8.5 は「0 個のときの高さ」ではない（0 個なら高さは 0 cm）。この式が使えるのは、x が 1 以上の整数のとき。
✏ 答案に書く
高さが 40 cm になるのは、コップを 21 個重ねたときである。
答え 21 個
模範答案
答案（ノート）には、右側の文と式を上から順に書こう。色の枠 は段階の名前だから、答案には書かないよ。
- おく重ねたコップの個数を x 個、全体の高さを y cm とする。
コップが 1 個ふえるごとに、高さは同じだけ（一定の割合で）高くなるから、y＝ax＋ とおく。b - 入れるx が 3 から 7 まで 4 増えると、y は 13 から 19 まで 6 増える。
1次関数では、変化の割合が a になる。（変化の割合）＝（y の増加量）÷（x の増加量）に入れると、 - 求めるa＝
64＝ 1.5
y＝1.5x＋ に x＝3、y＝13 を代入すると、13＝b 1.5×3＋ b
b＝13－ 4.5＝ 8.5 - 式にするa＝1.5、b＝8.5 を y＝
ax＋ に戻すと、b
y＝1.5x＋ 8.5 - 使う聞かれているのは、高さが 40 cm になる個数だから、y＝40 を代入する。
y＝1.5x＋ に y＝40 を代入すると、8.5
40＝1.5x＋ 8.5
1.5x＝40－ 8.5＝ 31.5
x＝31.5÷1.5＝ 21 - 確かめる3 個の組、x＝3、y＝13 を y＝
1.5x＋ に入れると、y＝8.5 1.5×3＋ 。合っている。8.5＝ 13
7 個の組、x＝7、y＝19 を y＝1.5x＋ に入れると、y＝8.5 1.5×7＋ 。合っている。8.5＝ 19
高さが 40 cm になるのは、コップを 21 個重ねたときである。
答え 21 個
解けたね！ どうしてその形でおけたのか、自分の言葉で言えたかな？ 次は、ちがう分野の問題にも挑戦してみよう。
もっと見たい人へ（開くと表示されるよ）
その形でおける理由を自分の言葉で書く（「2. おく」のふり返り）
自分の言葉で書くと、ぐっとわかるようになるよ。
「2. おく」で、y＝
なぜ、その形でおけると言えるのかな？ 自分の言葉で書いてみよう。
ヒント：問題文の言葉や、表で x が2倍・3倍になったときの y の変わり方を使って書こう。
模範を見る
コップが 1 個ふえるごとに、同じ 1.5 cm ずつ高くなるから。高さは「重ねてもふえない部分の 8.5 cm＋1.5×個数」で、y＝1.5x＋8.5 と表せる。
間違い探し
まちがいは、伸びる材料だよ。どこが違うか探してみよう。
この問題で起きやすいまちがいを、つまずきやすいポイントごとに並べたよ。どこが違うか考えてから開いてみよう。
増加量・変化の割合のまちがいつまずきやすい段階：「求める」
Aさんはこう書きました：a＝4÷6＝2/3 どこが違う？
なぜそう書きたくなる？（x の増加量）÷（y の増加量）と、逆にわってしまう。
どう確かめる？a＝（y の増加量）÷（x の増加量）＝6÷4＝1.5。1 個ふえると 1.5 cm 高くなる。
気づくコツ：（y の増加量）÷（x の増加量）。どちらも「あと－まえ」の順でひき算しよう。
形の取りちがえつまずきやすい段階：「おく」
Aさんはこう書きました：40÷1.5 どこが違う？
なぜそう書きたくなる？コップが 0 個なら高さ 0 と考えて、比例の式で計算してしまう。
どう確かめる？1 個のときの高さは 10 cm で、1.5 cm ではない。y＝1.5x＋8.5 の b を忘れない。
気づくコツ：表で x を2倍・3倍したとき y がどうなるか、x＝0 のとき y はいくつかを見ると、どの形でおけるかがわかるよ。
ここまで理解できている？（前の学習）
つまずいたら、前に学んだところに戻っても大丈夫！
この問題は、次のことが分かっていれば解けるよ。1つずつ確かめよう。
- 比例は y＝ax。x が1増えると y は a ずつ増え、グラフは原点を通る直線になる。
中1「比例と反比例」を確かめる
ためしに1問：y は x に比例し、x＝3 のとき y＝－12。比例定数は？
答えを見る
－12÷3＝－4
- 分数のわり算は、わる数の逆数をかける。小数は分数になおすと計算しやすいことがある。
小6・中1「分数・小数の計算」を確かめる
ためしに1問：4÷(2/3) は？
答えを見る
4×3/2＝6
- 移項して、x の項を左に、数の項を右に集めてから、x の係数でわる。
中1「1次方程式」を確かめる
ためしに1問：5＝3＋b を解くと？
答えを見る
b＝2