比例と反比例を合わせて 011
縦の長さが x cm、横の長さが y cm の長方形を考えます。面積が 36 cm² の長方形では、y は x に反比例します。また、横の長さが縦の長さの 4 倍の長方形では、y は x に比例します。この2つの条件にどちらもあてはまる長方形の、縦の長さを求めなさい。
どの形式で解くか、上のボタンでえらべるよ。
✏ 答案に書く の枠が、答案（ノート）に書くこと。そのほかは解説だよ。最後に「模範答案」があるよ。
1. 図
表や図で、ともなって変わる2つの量を見つけよう。わかっている数と、求める「？」はどれかな？
横① は面積が 36 cm² の長方形、横② は横が縦の 4 倍の長方形だよ。縦が 2 cm と 4 cm の間で、横① と横② の大きさが入れかわっているね。
2. おく
x と y が何の量かを1文で書いて、関係の形を決めよう。比例なら y＝ax、反比例なら y＝a/x とおくよ。a は、まだわからない数だね。
✏ 答案に書く
x と y は、問題文のとおりとする。
① 面積が 36 cm² の長方形では、y は x に反比例するから、y＝
② 横が縦の 4 倍の長方形では、y は x に比例するから、y＝
解説：b・a は、まだわからない数。次の「3. 入れる」で、わかっていることを使って決めるよ。
3. 入れる
わかっている x と y の組を、おいた式に入れよう。
✏ 答案に書く
①：
長方形の面積＝縦×横だから、x×y＝36 で、
②：
横は縦の 4 倍だから、y＝4×x で、
4. 求める
比例定数（a など）についての方程式になったね。1次方程式と同じように解こう。
✏ 答案に書く
①：
b＝
②：
a＝
5. 式にする
求めた比例定数を戻すと、x と y の関係が式になるよ。
✏ 答案に書く
①：
b＝36 を y＝
y＝
②：
a＝4 を y＝
y＝
6. 使う
式ができれば、どんな x でも y がわかる。聞かれている数を求めよう。
✏ 答案に書く
2つの式の y を等しいとおくと、36x＝
両辺に x をかけると、4x2＝
x2＝
x は、2乗すると 9 になる数だから、x＝3 または x＝－3。
縦の長さは正の数だから、x＝3。
x＝3 を y＝
縦の長さは 3 cm、横の長さは 12 cm になる。
7. 確かめる
ほかの組や、はじめの組に戻して、式が合っているか確かめよう。
✏ 答案に書く
求めた長方形の組、x＝3、y＝12 を y＝
求めた長方形の組、x＝3、y＝12 を y＝
解説：答えを問題の場面に戻すと
縦 3 cm、横 12 cm の長方形は、面積が 3×12＝36 cm² で、横は縦の 12÷3＝4 倍。2つの条件にどちらもあてはまる。x＝－3 の方は、長さが負の数になるので、この場面には合わない。
✏ 答案に書く
縦の長さは 3 cm である（横の長さは 12 cm）。
答え 3 cm
模範答案
答案（ノート）には、右側の文と式を上から順に書こう。色の枠 は段階の名前だから、答案には書かないよ。
- おくx と y は、問題文のとおりとする。
① 面積が 36 cm² の長方形では、y は x に反比例するから、y＝bx とおく（問題文）。
② 横が縦の 4 倍の長方形では、y は x に比例するから、y＝ax とおく（問題文）。 - 入れる①：
長方形の面積＝縦×横だから、x×y＝36 で、
②：
横は縦の 4 倍だから、y＝4×x で、 - 求める①：
b＝36
②：
a＝4 - 式にする①：
b＝36 を y＝bx に戻すと、
y＝36x
②：
a＝4 を y＝ax に戻すと、
y＝4x - 使う2つの式の y を等しいとおくと、36x＝
4x
両辺に x をかけると、4x2＝36
x2＝9
x は、2乗すると 9 になる数だから、x＝3 または x＝－3。
縦の長さは正の数だから、x＝3。
x＝3 を y＝36x に代入すると、y＝363＝ 12
縦の長さは 3 cm、横の長さは 12 cm になる。 - 確かめる求めた長方形の組、x＝3、y＝12 を y＝
36x に入れると、y＝363＝ 。合っている。12
求めた長方形の組、x＝3、y＝12 を y＝4x に入れると、y＝4×3＝ 。合っている。12
縦の長さは 3 cm である（横の長さは 12 cm）。
答え 3 cm
解けたね！ どうしてその形でおけたのか、自分の言葉で言えたかな？ 次は、ちがう分野の問題にも挑戦してみよう。
もっと見たい人へ（開くと表示されるよ）
その形でおける理由を自分の言葉で書く（「2. おく」のふり返り）
自分の言葉で書くと、ぐっとわかるようになるよ。
「2. おく」で、y＝
なぜ、その形でおけると言えるのかな？ 自分の言葉で書いてみよう。
ヒント：問題文の言葉や、表で x が2倍・3倍になったときの y の変わり方を使って書こう。
模範を見る
面積が 36 cm² の長方形では x×y＝36 なので y＝b/x、横が縦の 4 倍の長方形では y÷x＝4 なので y＝ax とおける（2つの比例定数は別の数なので、ちがう文字にする。解説8と同じく、比例を a、反比例を b にした）。2つの条件にどちらもあてはまる長方形は、2つのグラフが交わる点にあたる。
間違い探し
まちがいは、伸びる材料だよ。どこが違うか探してみよう。
この問題で起きやすいまちがいを、つまずきやすいポイントごとに並べたよ。どこが違うか考えてから開いてみよう。
2乗の計算のまちがいつまずきやすい段階：「使う」
Aさんはこう書きました：x²＝9 だから x＝9 どこが違う？
なぜそう書きたくなる？2乗をはずすことを忘れてしまう。
どう確かめる？x＝9 なら横は 36÷9＝4 cm で、縦の 4 倍（36 cm）にならない。2乗して 9 になる正の数は 3。
気づくコツ：x² は x×x。(－3)² は 9、－3² は －9 だよ。2倍ではなく、同じ数を2回かけるよ。
聞かれていることとのずれつまずきやすい段階：「確かめる」
Aさんはこう書きました：答え 12 cm どこが違う？
なぜそう書きたくなる？計算の最後に出た y の値を、そのまま答えてしまう。
どう確かめる？問題が聞いているのは縦の長さ（x）。y＝12 は横の長さ。
気づくコツ：最後に問題文をもう一度読んで、聞かれている量（x か y か、何の量か）で答えよう。
ここまで理解できている？（前の学習）
つまずいたら、前に学んだところに戻っても大丈夫！
この問題は、次のことが分かっていれば解けるよ。1つずつ確かめよう。
- 等式の両辺を同じ数でわったり、同じ数をかけたりしても、等式は成り立つ。
中1「1次方程式」を確かめる
ためしに1問：5a＝－20 を解くと？
答えを見る
a＝－4
- x が2倍・3倍になると y も2倍・3倍になるのが比例、1/2倍・1/3倍になるのが反比例。
小6「比例と反比例」を確かめる
ためしに1問：y が x に比例し、x＝2 のとき y＝10 です。x＝6 のとき y は？
答えを見る
x が3倍だから y も3倍で 30。