比例と反比例を合わせて 007
比例のグラフ ℓ と反比例のグラフ m が、点 A(2, 6) で交わっています。ℓ と m が交わるもう1つの点 B の座標を求めなさい。
どの形式で解くか、上のボタンでえらべるよ。
✏ 答案に書く の枠が、答案（ノート）に書くこと。そのほかは解説だよ。最後に「模範答案」があるよ。
1. 図
表や図で、ともなって変わる2つの量を見つけよう。わかっている数と、求める「？」はどれかな？
A は ℓ の上にも m の上にもある点だね。A の座標を、ℓ と m のどちらにも使えるよ。
2. おく
x と y が何の量かを1文で書いて、関係の形を決めよう。比例なら y＝ax、反比例なら y＝a/x とおくよ。a は、まだわからない数だね。
✏ 答案に書く
グラフの横の軸を x 軸、たての軸を y 軸とする。
ℓ は比例のグラフだから、y＝
m は反比例のグラフだから、y＝
解説：a・b は、まだわからない数。次の「3. 入れる」で、わかっていることを使って決めるよ。
3. 入れる
わかっている x と y の組を、おいた式に入れよう。
✏ 答案に書く
ℓ：
x＝2 のとき y＝6 だから、y＝
6＝
m：
x＝2 のとき y＝6 だから、y＝
6＝
4. 求める
比例定数（a など）についての方程式になったね。1次方程式と同じように解こう。
✏ 答案に書く
ℓ：
2a＝
a＝
m：
両辺に 2 をかけると、b＝
5. 式にする
求めた比例定数を戻すと、x と y の関係が式になるよ。
✏ 答案に書く
ℓ：
a＝3 を y＝
y＝
m：
b＝12 を y＝
y＝
6. 使う
式ができれば、どんな x でも y がわかる。聞かれている数を求めよう。
✏ 答案に書く
2つの式の y を等しいとおくと、3x＝
両辺に x をかけると、3x2＝
x2＝
x は、2乗すると 4 になる数だから、x＝2 または x＝－2。
A とはちがう点だから、x＝－2。
x＝－2 を y＝
7. 確かめる
ほかの組や、はじめの組に戻して、式が合っているか確かめよう。
✏ 答案に書く
点 A の組、x＝2、y＝6 を y＝
点 A の組、x＝2、y＝6 を y＝
点 B の組、x＝－2、y＝－6 を y＝
解説：答えを問題の場面に戻すと
B(－2, －6) は、A(2, 6) の x 座標と y 座標の符号をどちらも変えた点になっている。比例のグラフも反比例のグラフも、原点をはさんで反対側に同じ形があるから、交わる点もそうなる。
✏ 答案に書く
もう1つの交わる点 B の座標は (－2, －6) である。
答え (－2, －6)
模範答案
答案（ノート）には、右側の文と式を上から順に書こう。色の枠 は段階の名前だから、答案には書かないよ。
- おくグラフの横の軸を x 軸、たての軸を y 軸とする。
ℓ は比例のグラフだから、y＝ax とおく（問題文）。
m は反比例のグラフだから、y＝bx とおく（問題文）。 - 入れるℓ：
x＝2 のとき y＝6 だから、y＝ax に代入すると、
6＝a×2
m：
x＝2 のとき y＝6 だから、y＝bx に代入すると、
6＝b2 - 求めるℓ：
2a＝6
a＝6÷2＝ 3
m：
両辺に 2 をかけると、b＝6×2＝ 12 - 式にするℓ：
a＝3 を y＝ax に戻すと、
y＝3x
m：
b＝12 を y＝bx に戻すと、
y＝12x - 使う2つの式の y を等しいとおくと、3x＝
12x
両辺に x をかけると、3x2＝12
x2＝4
x は、2乗すると 4 になる数だから、x＝2 または x＝－2。
A とはちがう点だから、x＝－2。
x＝－2 を y＝3x に代入すると、y＝3×(－2)＝ －6 - 確かめる点 A の組、x＝2、y＝6 を y＝
3x に入れると、y＝3×2＝ 。合っている。6
点 A の組、x＝2、y＝6 を y＝12x に入れると、y＝122＝ 。合っている。6
点 B の組、x＝－2、y＝－6 を y＝12x に入れると、y＝12(－2)＝ 。合っている。－6
もう1つの交わる点 B の座標は (－2, －6) である。
答え (－2, －6)
解けたね！ どうしてその形でおけたのか、自分の言葉で言えたかな？ 次は、ちがう分野の問題にも挑戦してみよう。
もっと見たい人へ（開くと表示されるよ）
その形でおける理由を自分の言葉で書く（「2. おく」のふり返り）
自分の言葉で書くと、ぐっとわかるようになるよ。
「2. おく」で、y＝
なぜ、その形でおけると言えるのかな？ 自分の言葉で書いてみよう。
ヒント：問題文の言葉や、表で x が2倍・3倍になったときの y の変わり方を使って書こう。
模範を見る
ℓ も m も点 A(2, 6) を通るので、ℓ は y＝ax、m は y＝b/x とおいて、A の座標から a と b を別々に求められる。2つの式の y を等しいとおくと、交わる点の x が求められる。
間違い探し
まちがいは、伸びる材料だよ。どこが違うか探してみよう。
この問題で起きやすいまちがいを、つまずきやすいポイントごとに並べたよ。どこが違うか考えてから開いてみよう。
聞かれていることとのずれつまずきやすい段階：「確かめる」
Aさんはこう書きました：(2, 6) どこが違う？
なぜそう書きたくなる？x²＝4 から x＝2 だけを考えてしまう。
どう確かめる？2乗して 4 になる数は 2 と －2。x＝2 は A だから、B は x＝－2。
気づくコツ：最後に問題文をもう一度読んで、聞かれている量（x か y か、何の量か）で答えよう。
符号のまちがいつまずきやすい段階：「入れる」
Aさんはこう書きました：(－2, 6) どこが違う？
なぜそう書きたくなる？x 座標だけ符号を変えて、y 座標をそのままにしてしまう。
どう確かめる？x＝－2 を y＝3x に入れると y＝－6、y＝12/x に入れても y＝－6。
気づくコツ：負の数を代入するときは、かっこをつけて (－3) のように書こう。
ここまで理解できている？（前の学習）
つまずいたら、前に学んだところに戻っても大丈夫！
この問題は、次のことが分かっていれば解けるよ。1つずつ確かめよう。
- 等式の両辺を同じ数でわったり、同じ数をかけたりしても、等式は成り立つ。
中1「1次方程式」を確かめる
ためしに1問：5a＝－20 を解くと？
答えを見る
a＝－4
- 負の数のかけ算・わり算は、符号を先に決める（負の数が奇数個なら －、偶数個なら ＋）。
中1「正負の数」を確かめる
ためしに1問：(－2)×(－6) は？
答えを見る
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