反比例の場面 013
歯の数が 36 の歯車 A と、歯車 B がかみ合っています。A が 1 分間に 20 回転するとき、B を 1 分間に 45 回転させるには、B の歯の数をいくつにすればよいですか。
どの形式で解くか、上のボタンでえらべるよ。
✏ 答案に書く の枠が、答案（ノート）に書くこと。そのほかは解説だよ。最後に「模範答案」があるよ。
1. 図
表や図で、ともなって変わる2つの量を見つけよう。わかっている数と、求める「？」はどれかな？
かみ合う2つの歯車では、1分間にかみ合う歯の数が同じになるよ。
2. おく
x と y が何の量かを1文で書いて、関係の形を決めよう。比例なら y＝ax、反比例なら y＝a/x とおくよ。a は、まだわからない数だね。
やってみよう：形をえらぶ
x と y の関係は、どの形でおける？
- ヒント1／3：問題文に「比例」「反比例」の言葉はあるかな？ 表があれば、x が2倍になると y はどうなるかを見よう。
- ヒント2／3：x×y が一定なら反比例、y÷x が一定なら比例だよ。
✏ 答案に書く
かみ合う歯車の歯の数を x、1分間の回転数を y 回とする。
かみ合う2つの歯車は、1分間にかみ合って進む歯の数（歯の数×回転数）が等しいので、A でも B でも x×y は同じ数になる。回転数は歯の数に反比例するから、y＝
解説：a は、まだわからない数。次の「3. 入れる」で、わかっていることを使って決めるよ。
3. 入れる
わかっている x と y の組を、おいた式に入れよう。
✏ 答案に書く
x＝36 のとき y＝20 だから、y＝
20＝
4. 求める
比例定数（a など）についての方程式になったね。1次方程式と同じように解こう。
✏ 答案に書く
両辺に 36 をかけると、a＝
5. 式にする
求めた比例定数を戻すと、x と y の関係が式になるよ。
✏ 答案に書く
a＝720 を y＝
y＝
6. 使う
式ができれば、どんな x でも y がわかる。聞かれている数を求めよう。
✏ 答案に書く
B を 1 分間に 45 回転させたいから、y＝45 を代入する。
y＝
45＝
両辺に x をかけると、45x＝
x＝
7. 確かめる
ほかの組や、はじめの組に戻して、式が合っているか確かめよう。
✏ 答案に書く
歯車 A の組、x＝36、y＝20 を y＝
求めた歯車 B の組、x＝16、y＝45 を y＝
解説：答えを問題の場面に戻すと
B の歯の数が 16 なら、1分間に 16×45＝720 の歯が進む。A も 36×20＝720 で、かみ合う歯の数が等しい。B は A より速く回るので、歯の数が A より少ない 16 は、大きさも合っている。
✏ 答案に書く
B の歯の数を 16 にすればよい。
答え 16
模範答案
答案（ノート）には、右側の文と式を上から順に書こう。色の枠 は段階の名前だから、答案には書かないよ。
- おくかみ合う歯車の歯の数を x、1分間の回転数を y 回とする。
かみ合う2つの歯車は、1分間にかみ合って進む歯の数（歯の数×回転数）が等しいので、A でも B でも x×y は同じ数になる。回転数は歯の数に反比例するから、y＝ax とおく。 - 入れるx＝36 のとき y＝20 だから、y＝
ax に代入すると、
20＝a36 - 求める両辺に 36 をかけると、a＝
20×36＝ 720 - 式にするa＝720 を y＝
ax に戻すと、
y＝720x - 使うB を 1 分間に 45 回転させたいから、y＝45 を代入する。
y＝720x に y＝45 を代入すると、
45＝720x
両辺に x をかけると、45x＝720
x＝720÷45＝ 16 - 確かめる歯車 A の組、x＝36、y＝20 を y＝
720x に入れると、y＝72036＝ 。合っている。20
求めた歯車 B の組、x＝16、y＝45 を y＝720x に入れると、y＝72016＝ 。合っている。45
B の歯の数を 16 にすればよい。
答え 16
解けたね！ どうしてその形でおけたのか、自分の言葉で言えたかな？ 次は、ちがう分野の問題にも挑戦してみよう。
もっと見たい人へ（開くと表示されるよ）
その形でおける理由を自分の言葉で書く（「2. おく」のふり返り）
自分の言葉で書くと、ぐっとわかるようになるよ。
「2. おく」で、y＝
なぜ、その形でおけると言えるのかな？ 自分の言葉で書いてみよう。
ヒント：問題文の言葉や、表で x が2倍・3倍になったときの y の変わり方を使って書こう。
模範を見る
かみ合う2つの歯車は、1分間にかみ合う歯の数が等しいので、歯の数×回転数 はどちらの歯車でも同じ数になる。だから回転数は歯の数に反比例する。
間違い探し
まちがいは、伸びる材料だよ。どこが違うか探してみよう。
この問題で起きやすいまちがいを、つまずきやすいポイントごとに並べたよ。どこが違うか考えてから開いてみよう。
形の取りちがえつまずきやすい段階：「おく」
Aさんはこう書きました：y＝5/9 x とおいて x＝81 どこが違う？
なぜそう書きたくなる？歯の数と回転数を、比例だと思ってしまう。
どう確かめる？歯の数が多い歯車ほど、1回転するのに多くの歯が進むので、ゆっくり回る。歯の数が 81 では、A よりゆっくり回ってしまう。
気づくコツ：表で x を2倍・3倍したとき y がどうなるか、x＝0 のとき y はいくつかを見ると、どの形でおけるかがわかるよ。
聞かれていることとのずれつまずきやすい段階：「確かめる」
Aさんはこう書きました：答え 720 どこが違う？
なぜそう書きたくなる？a＝720 を求めたところで、答えにしてしまう。
どう確かめる？a＝720 は1分間にかみ合う歯の数。y＝
気づくコツ：最後に問題文をもう一度読んで、聞かれている量（x か y か、何の量か）で答えよう。
ここまで理解できている？（前の学習）
つまずいたら、前に学んだところに戻っても大丈夫！
この問題は、次のことが分かっていれば解けるよ。1つずつ確かめよう。
- x が2倍・3倍になると y も2倍・3倍になるのが比例、1/2倍・1/3倍になるのが反比例。
小6「比例と反比例」を確かめる
ためしに1問：y が x に比例し、x＝2 のとき y＝10 です。x＝6 のとき y は？
答えを見る
x が3倍だから y も3倍で 30。
- 等式の両辺を同じ数でわったり、同じ数をかけたりしても、等式は成り立つ。
中1「1次方程式」を確かめる
ためしに1問：5a＝－20 を解くと？
答えを見る
a＝－4