変化の割合 007
ボールを静かに落とすと、落ちる距離は落ちはじめてからの時間の2乗に比例し、2 秒間でおよそ 20 m 落ちます。落ちはじめて 1 秒後から 3 秒後までの平均の速さは、秒速およそ何 m ですか。ただし、空気の影響は考えないものとします。
どの形式で解くか、上のボタンでえらべるよ。
✏ 答案に書く の枠が、答案（ノート）に書くこと。そのほかは解説だよ。最後に「模範答案」があるよ。
1. 図
表や図で、ともなって変わる2つの量を見つけよう。x が2倍・3倍になると、y はどうなるかな？
平均の速さは（落ちた距離）÷（かかった時間）。1 秒後から 3 秒後までに落ちた距離がわかればいいね。
2. おく
x と y が何の量かを1文で書いて、関係の形を決めよう。2乗に比例するなら y＝ax² とおくよ。a は、まだわからない数だね。
やってみよう：形をえらぶ
x と y の関係は、どの形でおける？
- ヒント1／3：x が2倍になると、y は何倍になっているかな？ 4倍なら「2乗に比例」だよ。
- ヒント2／3：y÷x² がいつも同じ数になっていれば、y＝ax² とおけるよ。
✏ 答案に書く
落ちはじめてからの時間を x 秒、落ちる距離を y m とする。
落ちる距離は時間の2乗に比例するから、y＝
解説：a は、まだわからない数。次の「3. 入れる」で、わかっていることを使って決めるよ。
3. 入れる
わかっている x と y の組を、おいた式に入れよう。x² を先に計算するよ。
✏ 答案に書く
x＝2 のとき y＝20 だから、y＝
20＝
4. 求める
おいた式の、まだわからない数（a など）についての方程式になったね。y＝ax² なら、両辺を x² の値でわろう。関数が2つあるときは、2つ目の式の数（b や、直線の m・n、k など）も、それぞれ求めるよ。
✏ 答案に書く
4a＝
a＝
5. 式にする
求めた数（a など）を、おいた式に戻すと、x と y の関係が1つの式になるよ。
✏ 答案に書く
a＝5 を y＝
y＝
6. 使う
式ができれば、どんな x でも y がわかる。y から x を求めるときは、x が2つある場合に気をつけよう。
✏ 答案に書く
1 秒後から 3 秒後までの平均の速さは、（落ちた距離）÷（かかった時間）。これは、x が 1 から 3 まで増えるときの変化の割合と同じだ。
x＝1 のとき y＝5、x＝3 のとき y＝45。
（変化の割合）＝（y の増加量）÷（x の増加量）だから、
45－
7. 確かめる
はじめの組や、ほかの組に戻して、式が合っているか確かめよう。
✏ 答案に書く
はじめの組、x＝2、y＝20 を y＝
解説：答えを問題の場面に戻すと
1 秒後に 5 m、3 秒後に 45 m の所にいるので、2 秒間に 45－5＝40 m 落ちている。40÷2＝20 で、平均すると1秒あたり 20 m。はじめの 1 秒間の平均の速さ（秒速 5 m）よりずっと速く、落ちるにつれて速くなるようすと合っている。
✏ 答案に書く
1 秒後から 3 秒後までの平均の速さは、秒速およそ 20 m である。
答え 秒速およそ 20 m
模範答案
答案（ノート）には、右側の文と式を上から順に書こう。色の枠 は段階の名前だから、答案には書かないよ。
- おく落ちはじめてからの時間を x 秒、落ちる距離を y m とする。
落ちる距離は時間の2乗に比例するから、y＝ax2 とおく（問題文）。 - 入れるx＝2 のとき y＝20 だから、y＝
ax2 に代入すると、
20＝a×22 - 求める4a＝
20
a＝20÷4＝ 5 - 式にするa＝5 を y＝
ax2 に戻すと、
y＝5x2 - 使う1 秒後から 3 秒後までの平均の速さは、（落ちた距離）÷（かかった時間）。これは、x が 1 から 3 まで増えるときの変化の割合と同じだ。
x＝1 のとき y＝5、x＝3 のとき y＝45。
（変化の割合）＝（y の増加量）÷（x の増加量）だから、
45－5 3－1 ＝402＝ 20 - 確かめるはじめの組、x＝2、y＝20 を y＝
5x2 に入れると、y＝5×22＝ 。合っている。20
1 秒後から 3 秒後までの平均の速さは、秒速およそ 20 m である。
答え 秒速およそ 20 m
解けたね！ どうしてその形でおけたのか、自分の言葉で言えたかな？ 次は、ちがう分野の問題にも挑戦してみよう。
もっと見たい人へ（開くと表示されるよ）
その形でおける理由を自分の言葉で書く（「2. おく」のふり返り）
自分の言葉で書くと、ぐっとわかるようになるよ。
「2. おく」で、y＝
なぜ、その形でおけると言えるのかな？ 自分の言葉で書いてみよう。
ヒント：問題文の言葉や、表で x が2倍・3倍になったときの y の変わり方を使って書こう。
模範を見る
問題文に「落ちる距離は時間の2乗に比例し」とあるから。時間を x 秒、距離を y m とすると、y÷x² がいつも同じ数になり、y＝ax² とおける。
間違い探し
まちがいは、伸びる材料だよ。どこが違うか探してみよう。
この問題で起きやすいまちがいを、つまずきやすいポイントごとに並べたよ。どこが違うか考えてから開いてみよう。
聞かれていることとのずれつまずきやすい段階：「確かめる」
Aさんはこう書きました：45÷3＝15 で秒速 15 m どこが違う？
なぜそう書きたくなる？3 秒後までに落ちた距離を、そのまま時間でわってしまう。
どう確かめる？問題の区間は 1 秒後から 3 秒後まで。この間に落ちたのは 45－5＝40 m、かかった時間は 3－1＝2 秒。
気づくコツ：最後に問題文をもう一度読んで、聞かれている量（x か y か、何の量か）で答えよう。
増加量・変化の割合のまちがいつまずきやすい段階：「求める」
Aさんはこう書きました：a＝5 だから秒速 5 m どこが違う？
なぜそう書きたくなる？比例定数 a が、そのまま速さだと思ってしまう。
どう確かめる？y＝5x² の変化の割合は一定ではない。1 秒後から 3 秒後では (45－5)÷(3－1)＝20 になる。
気づくコツ：（y の増加量）÷（x の増加量）。どちらも「あと－まえ」の順でひき算しよう。
ここまで理解できている？（前の学習）
つまずいたら、前に学んだところに戻っても大丈夫！
この問題は、次のことが分かっていれば解けるよ。1つずつ確かめよう。
- 1次関数 y＝ax＋b の変化の割合はいつも a で一定。グラフは直線。
中2「1次関数」を確かめる
ためしに1問：2点 (1, 2)、(3, 10) を通る直線の式は？
答えを見る
a＝(10－2)÷(3－1)＝4、b＝2－4＝－2 で、y＝4x－2
- 比例は y＝ax。x が2倍になると y も2倍。y＝ax² は「x² に比例する」関数。
中1「比例」を確かめる
ためしに1問：y は x に比例し、x＝2 のとき y＝6。x＝5 のとき y は？
答えを見る
a＝3 で、y＝15