変化の割合 008
長い斜面にボールを置いて静かに手をはなすと、転がる距離は転がりはじめてからの時間の2乗に比例し、2 秒間で 2 m 転がりました。転がりはじめて 2 秒後から 6 秒後までの平均の速さは、秒速何 m ですか。
どの形式で解くか、上のボタンでえらべるよ。
✏ 答案に書く の枠が、答案（ノート）に書くこと。そのほかは解説だよ。最後に「模範答案」があるよ。
1. 図
表や図で、ともなって変わる2つの量を見つけよう。x が2倍・3倍になると、y はどうなるかな？
2. おく
x と y が何の量かを1文で書いて、関係の形を決めよう。2乗に比例するなら y＝ax² とおくよ。a は、まだわからない数だね。
やってみよう：形をえらぶ
x と y の関係は、どの形でおける？
- ヒント1／3：x が2倍になると、y は何倍になっているかな？ 4倍なら「2乗に比例」だよ。
- ヒント2／3：y÷x² がいつも同じ数になっていれば、y＝ax² とおけるよ。
✏ 答案に書く
転がりはじめてからの時間を x 秒、転がる距離を y m とする。
転がる距離は時間の2乗に比例するから、y＝
解説：a は、まだわからない数。次の「3. 入れる」で、わかっていることを使って決めるよ。
3. 入れる
わかっている x と y の組を、おいた式に入れよう。x² を先に計算するよ。
✏ 答案に書く
x＝2 のとき y＝2 だから、y＝
2＝
4. 求める
おいた式の、まだわからない数（a など）についての方程式になったね。y＝ax² なら、両辺を x² の値でわろう。関数が2つあるときは、2つ目の式の数（b や、直線の m・n、k など）も、それぞれ求めるよ。
✏ 答案に書く
4a＝
a＝
5. 式にする
求めた数（a など）を、おいた式に戻すと、x と y の関係が1つの式になるよ。
✏ 答案に書く
a＝1/2 を y＝
y＝
6. 使う
式ができれば、どんな x でも y がわかる。y から x を求めるときは、x が2つある場合に気をつけよう。
✏ 答案に書く
2 秒後から 6 秒後までの平均の速さは、x が 2 から 6 まで増えるときの変化の割合だ。
x＝2 のとき y＝2、x＝6 のとき y＝18。
（変化の割合）＝（y の増加量）÷（x の増加量）だから、
18－
7. 確かめる
はじめの組や、ほかの組に戻して、式が合っているか確かめよう。
✏ 答案に書く
はじめの組、x＝2、y＝2 を y＝
解説：答えを問題の場面に戻すと
2 秒後から 6 秒後までの 4 秒間に 18－2＝16 m 転がるので、16÷4＝4 で秒速 4 m。はじめの 2 秒間の平均の速さ（2÷2＝秒速 1 m）より速く、だんだん速くなるようすと合っている。
✏ 答案に書く
2 秒後から 6 秒後までの平均の速さは、秒速 4 m である。
答え 秒速 4 m
模範答案
答案（ノート）には、右側の文と式を上から順に書こう。色の枠 は段階の名前だから、答案には書かないよ。
- おく転がりはじめてからの時間を x 秒、転がる距離を y m とする。
転がる距離は時間の2乗に比例するから、y＝ax2 とおく（問題文）。 - 入れるx＝2 のとき y＝2 だから、y＝
ax2 に代入すると、
2＝a×22 - 求める4a＝
2
a＝2÷4＝ 12 - 式にするa＝1/2 を y＝
ax2 に戻すと、
y＝12x2 - 使う2 秒後から 6 秒後までの平均の速さは、x が 2 から 6 まで増えるときの変化の割合だ。
x＝2 のとき y＝2、x＝6 のとき y＝18。
（変化の割合）＝（y の増加量）÷（x の増加量）だから、
18－2 6－2 ＝164＝ 4 - 確かめるはじめの組、x＝2、y＝2 を y＝
12x2 に入れると、y＝12×22＝ 。合っている。2
2 秒後から 6 秒後までの平均の速さは、秒速 4 m である。
答え 秒速 4 m
解けたね！ どうしてその形でおけたのか、自分の言葉で言えたかな？ 次は、ちがう分野の問題にも挑戦してみよう。
もっと見たい人へ（開くと表示されるよ）
その形でおける理由を自分の言葉で書く（「2. おく」のふり返り）
自分の言葉で書くと、ぐっとわかるようになるよ。
「2. おく」で、y＝
なぜ、その形でおけると言えるのかな？ 自分の言葉で書いてみよう。
ヒント：問題文の言葉や、表で x が2倍・3倍になったときの y の変わり方を使って書こう。
模範を見る
問題文に「転がる距離は…時間の2乗に比例し」とあるから。時間を x 秒、距離を y m とすると、y＝ax² とおける。
間違い探し
まちがいは、伸びる材料だよ。どこが違うか探してみよう。
この問題で起きやすいまちがいを、つまずきやすいポイントごとに並べたよ。どこが違うか考えてから開いてみよう。
聞かれていることとのずれつまずきやすい段階：「確かめる」
Aさんはこう書きました：18÷6＝3 で秒速 3 m どこが違う？
なぜそう書きたくなる？6 秒後までの距離を、そのまま 6 でわってしまう。
どう確かめる？区間は 2 秒後から 6 秒後まで。転がった距離は 18－2＝16 m、時間は 6－2＝4 秒で、16÷4＝4。
気づくコツ：最後に問題文をもう一度読んで、聞かれている量（x か y か、何の量か）で答えよう。
増加量・変化の割合のまちがいつまずきやすい段階：「求める」
Aさんはこう書きました：a＝1/2 だから秒速 1/2 m どこが違う？
なぜそう書きたくなる？比例定数 a を、そのまま速さだと思ってしまう。
どう確かめる？y＝(1/2)x² では、平均の速さ（変化の割合）は区間によって変わる。2 秒後から 6 秒後では 4 になる。
気づくコツ：（y の増加量）÷（x の増加量）。どちらも「あと－まえ」の順でひき算しよう。
ここまで理解できている？（前の学習）
つまずいたら、前に学んだところに戻っても大丈夫！
この問題は、次のことが分かっていれば解けるよ。1つずつ確かめよう。
- 1次関数 y＝ax＋b の変化の割合はいつも a で一定。グラフは直線。
中2「1次関数」を確かめる
ためしに1問：2点 (1, 2)、(3, 10) を通る直線の式は？
答えを見る
a＝(10－2)÷(3－1)＝4、b＝2－4＝－2 で、y＝4x－2
- 比例は y＝ax。x が2倍になると y も2倍。y＝ax² は「x² に比例する」関数。
中1「比例」を確かめる
ためしに1問：y は x に比例し、x＝2 のとき y＝6。x＝5 のとき y は？
答えを見る
a＝3 で、y＝15