放物線と直線 014
関数 y＝ax² のグラフ（放物線）は点 (2, 2) を通ります。直線 ℓ は2点 (－4, 0)、(0, 4) を通り、放物線と2点 A、B で交わります（A の x 座標は負、B の x 座標は正）。原点 O を通って △OAB の面積を2等分する直線は、線分 AB の中点 M を通ります。点 M の座標を求めなさい。
どの形式で解くか、上のボタンでえらべるよ。
✏ 答案に書く の枠が、答案（ノート）に書くこと。そのほかは解説だよ。最後に「模範答案」があるよ。
1. 図
表や図で、ともなって変わる2つの量を見つけよう。x が2倍・3倍になると、y はどうなるかな？
△OAM と △OMB は、底辺 AM と MB の長さが等しく、高さ（O から直線 AB までの長さ）も同じ。だから面積が等しくなるよ。
2. おく
x と y が何の量かを1文で書いて、関係の形を決めよう。2乗に比例するなら y＝ax² とおくよ。a は、まだわからない数だね。
✏ 答案に書く
グラフの横の軸を x 軸、たての軸を y 軸とする。
放物線は関数 y＝ax² のグラフだと問題文にあるから、y＝
ℓ は2点を通る直線だから、y＝
解説：a・m・n は、まだわからない数。次の「3. 入れる」で、わかっていることを使って決めるよ。
3. 入れる
わかっている x と y の組を、おいた式に入れよう。x² を先に計算するよ。
✏ 答案に書く
放物線：
x＝2 のとき y＝2 だから、y＝
2＝
ℓ：
x＝0 のとき y＝4 だから、y＝
x＝－4 のとき y＝0 を y＝
0＝
4. 求める
おいた式の、まだわからない数（a など）についての方程式になったね。y＝ax² なら、両辺を x² の値でわろう。関数が2つあるときは、2つ目の式の数（b や、直線の m・n、k など）も、それぞれ求めるよ。
✏ 答案に書く
放物線：
4a＝
a＝
ℓ：
n＝
－4m＝
m＝
5. 式にする
求めた数（a など）を、おいた式に戻すと、x と y の関係が1つの式になるよ。
✏ 答案に書く
放物線：
a＝1/2 を y＝
y＝
ℓ：
m＝1、n＝4 を y＝
y＝
6. 使う
式ができれば、どんな x でも y がわかる。y から x を求めるときは、x が2つある場合に気をつけよう。
✏ 答案に書く
2つの式の y を等しいとおくと、12x2＝
移項して整理すると、x2－
(x＋
x＝－2、4
B の x 座標は正だから、x＝4。
x＝4 を y＝
A の x 座標は －2。y＝
M の x 座標は、A と B の x 座標の真ん中で －2＋
M の y 座標は、A と B の y 座標の真ん中で 2＋
7. 確かめる
はじめの組や、ほかの組に戻して、式が合っているか確かめよう。
✏ 答案に書く
放物線が通る点の組、x＝2、y＝2 を y＝
ℓ が通る点の組、x＝－4、y＝0 を y＝
求めた中点 M の組、x＝1、y＝5 を y＝
✏ 答案に書く
点 M の座標は (1, 5) である。
答え (1, 5)
模範答案
答案（ノート）には、右側の文と式を上から順に書こう。色の枠 は段階の名前だから、答案には書かないよ。
- おくグラフの横の軸を x 軸、たての軸を y 軸とする。
放物線は関数 y＝ax² のグラフだと問題文にあるから、y＝ax2 とおく。
ℓ は2点を通る直線だから、y＝mx＋ とおく。n - 入れる放物線：
x＝2 のとき y＝2 だから、y＝ax2 に代入すると、
2＝a×22
ℓ：
x＝0 のとき y＝4 だから、y＝mx＋ の n は 4。n
x＝－4 のとき y＝0 を y＝mx＋ に代入すると、4
0＝m×(－4)＋ 4 - 求める放物線：
4a＝2
a＝2÷4＝ 12
ℓ：
n＝4
－4m＝0－ 4＝ －4
m＝－4÷(－4)＝ 1 - 式にする放物線：
a＝1/2 を y＝ax2 に戻すと、
y＝12x2
ℓ：
m＝1、n＝4 を y＝mx＋ に戻すと、n
y＝x＋ 4 - 使う2つの式の y を等しいとおくと、12x2＝
x＋ 4
移項して整理すると、x2－2x－ 8＝ 0
(x＋2)(x－ 4)＝ 0
x＝－2、4
B の x 座標は正だから、x＝4。
x＝4 を y＝12x2 に代入すると、y＝12×42＝ 8
A の x 座標は －2。y＝12x2 に x＝－2 を代入すると、y＝12×(－2)2＝ なので、A(－2, 2)。2
M の x 座標は、A と B の x 座標の真ん中で －2＋4 2＝1 。
M の y 座標は、A と B の y 座標の真ん中で 2＋8 2＝5 。 - 確かめる放物線が通る点の組、x＝2、y＝2 を y＝
12x2 に入れると、y＝12×22＝ 。合っている。2
ℓ が通る点の組、x＝－4、y＝0 を y＝x＋ に入れると、y＝4 (－4)＋ 。合っている。4＝ 0
求めた中点 M の組、x＝1、y＝5 を y＝x＋ に入れると、y＝4 1＋ 。合っている。4＝ 5
点 M の座標は (1, 5) である。
答え (1, 5)
解けたね！ どうしてその形でおけたのか、自分の言葉で言えたかな？ 次は、ちがう分野の問題にも挑戦してみよう。
もっと見たい人へ（開くと表示されるよ）
その形でおける理由を自分の言葉で書く（「2. おく」のふり返り）
自分の言葉で書くと、ぐっとわかるようになるよ。
「2. おく」で、y＝
なぜ、その形でおけると言えるのかな？ 自分の言葉で書いてみよう。
ヒント：問題文の言葉や、表で x が2倍・3倍になったときの y の変わり方を使って書こう。
模範を見る
放物線は関数 y＝ax² のグラフなので y＝ax²、ℓ は直線なので y＝mx＋n とおける。交点 A・B の座標がわかれば、中点 M は x 座標・y 座標をそれぞれ平均して求められる。
間違い探し
まちがいは、伸びる材料だよ。どこが違うか探してみよう。
この問題で起きやすいまちがいを、つまずきやすいポイントごとに並べたよ。どこが違うか考えてから開いてみよう。
グラフ・座標の読みちがいつまずきやすい段階：「図」
Aさんはこう書きました：M(2, 10) どこが違う？
なぜそう書きたくなる？中点は「たして 2 でわる」のに、2 でわるのを忘れてしまう。
どう確かめる？M(2, 10) は ℓ の上にない（x＝2 のとき ℓ の y は 6）。中点は線分 AB の上にあるはず。
気づくコツ：座標は (x, y) の順。まず横（x）、次にたて（y）を読むよ。目もり1つ分がいくつかも確かめよう。
グラフ・座標の読みちがいつまずきやすい段階：「図」
Aさんはこう書きました：M(3, 3) どこが違う？
なぜそう書きたくなる？A と B の座標の差の半分を、そのまま中点の座標にしてしまう。
どう確かめる？差の半分は、A から M までの増え方。M の x 座標は －2＋3＝1、y 座標は 2＋3＝5。
気づくコツ：座標は (x, y) の順。まず横（x）、次にたて（y）を読むよ。目もり1つ分がいくつかも確かめよう。
ここまで理解できている？（前の学習）
つまずいたら、前に学んだところに戻っても大丈夫！
この問題は、次のことが分かっていれば解けるよ。1つずつ確かめよう。
- 1次関数 y＝ax＋b の変化の割合はいつも a で一定。グラフは直線。
中2「1次関数」を確かめる
ためしに1問：2点 (1, 2)、(3, 10) を通る直線の式は？
答えを見る
a＝(10－2)÷(3－1)＝4、b＝2－4＝－2 で、y＝4x－2
- x²＋px＋q＝0 は、左辺を因数分解できるときは、因数分解して「A×B＝0 なら A＝0 または B＝0」で解く。
中3「2次方程式」を確かめる
ためしに1問：x²－2x－8＝0 を解くと？
答えを見る
(x＋2)(x－4)＝0 で x＝－2、4
- x²＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)。たして x の係数、かけて定数の項になる2数 a、b をさがす。
中3「因数分解」を確かめる
ためしに1問：x²－5x＋6 を因数分解すると？
答えを見る
(x－2)(x－3)