放物線と直線 011
関数 y＝ax² のグラフ（放物線）は点 (3, 3) を通ります。直線 ℓ は2点 (－6, 0)、(2, 8) を通り、放物線と2点 A、B で交わります（A の x 座標は負、B の x 座標は正）。原点を O とするとき、△OAB の面積を求めなさい。
どの形式で解くか、上のボタンでえらべるよ。
✏ 答案に書く の枠が、答案（ノート）に書くこと。そのほかは解説だよ。最後に「模範答案」があるよ。
1. 図
表や図で、ともなって変わる2つの量を見つけよう。x が2倍・3倍になると、y はどうなるかな？
2. おく
x と y が何の量かを1文で書いて、関係の形を決めよう。2乗に比例するなら y＝ax² とおくよ。a は、まだわからない数だね。
✏ 答案に書く
グラフの横の軸を x 軸、たての軸を y 軸とする。
放物線は関数 y＝ax² のグラフだと問題文にあるから、y＝
ℓ は2点を通る直線だから、y＝
解説：a・m・n は、まだわからない数。次の「3. 入れる」で、わかっていることを使って決めるよ。
3. 入れる
わかっている x と y の組を、おいた式に入れよう。x² を先に計算するよ。
✏ 答案に書く
放物線：
x＝3 のとき y＝3 だから、y＝
3＝
ℓ：
x＝－6 のとき y＝0 だから、0＝
x＝2 のとき y＝8 だから、8＝
4. 求める
おいた式の、まだわからない数（a など）についての方程式になったね。y＝ax² なら、両辺を x² の値でわろう。関数が2つあるときは、2つ目の式の数（b や、直線の m・n、k など）も、それぞれ求めるよ。
✏ 答案に書く
放物線：
9a＝
a＝
ℓ：
②－①より、8＝
m＝
m＝1 を①に代入すると、0＝
n＝
5. 式にする
求めた数（a など）を、おいた式に戻すと、x と y の関係が1つの式になるよ。
✏ 答案に書く
放物線：
a＝1/3 を y＝
y＝
ℓ：
m＝1、n＝6 を y＝
y＝
6. 使う
式ができれば、どんな x でも y がわかる。y から x を求めるときは、x が2つある場合に気をつけよう。
✏ 答案に書く
2つの式の y を等しいとおくと、13x2＝
移項して整理すると、x2－
(x＋
x＝－3、6
B の x 座標は正だから、x＝6。
x＝6 を y＝
A の x 座標は －3、B の x 座標は 6。ℓ と y 軸の交点を C とすると、C(0, 6)。
△OAB を y 軸で △OAC と △OBC に分けると、どちらも OC＝6 を底辺とし、高さはそれぞれ 3 と 6 になる。
△OAB＝12×6×3＋
7. 確かめる
はじめの組や、ほかの組に戻して、式が合っているか確かめよう。
✏ 答案に書く
放物線が通る点の組、x＝3、y＝3 を y＝
ℓ が通る点の組、x＝－6、y＝0 を y＝
求めた点 B の組、x＝6、y＝12 を y＝
✏ 答案に書く
△OAB の面積は 27 である。
答え 27
模範答案
答案（ノート）には、右側の文と式を上から順に書こう。色の枠 は段階の名前だから、答案には書かないよ。
- おくグラフの横の軸を x 軸、たての軸を y 軸とする。
放物線は関数 y＝ax² のグラフだと問題文にあるから、y＝ax2 とおく。
ℓ は2点を通る直線だから、y＝mx＋ とおく。n - 入れる放物線：
x＝3 のとき y＝3 だから、y＝ax2 に代入すると、
3＝a×32
ℓ：
x＝－6 のとき y＝0 だから、0＝－6m＋ …①n
x＝2 のとき y＝8 だから、8＝2m＋ …②n - 求める放物線：
9a＝3
a＝3÷9＝ 13
ℓ：
②－①より、8＝8m
m＝8÷8＝ 1
m＝1 を①に代入すると、0＝1×(－6)＋ n
n＝0－ (－6)＝ 6 - 式にする放物線：
a＝1/3 を y＝ax2 に戻すと、
y＝13x2
ℓ：
m＝1、n＝6 を y＝mx＋ に戻すと、n
y＝x＋ 6 - 使う2つの式の y を等しいとおくと、13x2＝
x＋ 6
移項して整理すると、x2－3x－ 18＝ 0
(x＋3)(x－ 6)＝ 0
x＝－3、6
B の x 座標は正だから、x＝6。
x＝6 を y＝13x2 に代入すると、y＝13×62＝ 12
A の x 座標は －3、B の x 座標は 6。ℓ と y 軸の交点を C とすると、C(0, 6)。
△OAB を y 軸で △OAC と △OBC に分けると、どちらも OC＝6 を底辺とし、高さはそれぞれ 3 と 6 になる。
△OAB＝12×6×3＋12×6×6＝ 27 - 確かめる放物線が通る点の組、x＝3、y＝3 を y＝
13x2 に入れると、y＝13×32＝ 。合っている。3
ℓ が通る点の組、x＝－6、y＝0 を y＝x＋ に入れると、y＝6 (－6)＋ 。合っている。6＝ 0
求めた点 B の組、x＝6、y＝12 を y＝x＋ に入れると、y＝6 6＋ 。合っている。6＝ 12
△OAB の面積は 27 である。
答え 27
解けたね！ どうしてその形でおけたのか、自分の言葉で言えたかな？ 次は、ちがう分野の問題にも挑戦してみよう。
もっと見たい人へ（開くと表示されるよ）
その形でおける理由を自分の言葉で書く（「2. おく」のふり返り）
自分の言葉で書くと、ぐっとわかるようになるよ。
「2. おく」で、y＝
なぜ、その形でおけると言えるのかな？ 自分の言葉で書いてみよう。
ヒント：問題文の言葉や、表で x が2倍・3倍になったときの y の変わり方を使って書こう。
模範を見る
放物線は関数 y＝ax² のグラフだから y＝ax²、ℓ は直線だから y＝mx＋n とおける。交点 A・B の座標がわかれば、y 軸で三角形を分けて、面積を求められる。
間違い探し
まちがいは、伸びる材料だよ。どこが違うか探してみよう。
この問題で起きやすいまちがいを、つまずきやすいポイントごとに並べたよ。どこが違うか考えてから開いてみよう。
グラフ・座標の読みちがいつまずきやすい段階：「図」
Aさんはこう書きました：△OAB＝△OBC＝(1/2)×6×6＝18 どこが違う？
なぜそう書きたくなる？B の方の三角形だけを見て、A の側を忘れてしまう。
どう確かめる？A は y 軸の左、B は右にある。y 軸で2つに分けて、両方をたす。
気づくコツ：座標は (x, y) の順。まず横（x）、次にたて（y）を読むよ。目もり1つ分がいくつかも確かめよう。
グラフ・座標の読みちがいつまずきやすい段階：「図」
Aさんはこう書きました：(1/2)×6×3＋(1/2)×6×12＝45 どこが違う？
なぜそう書きたくなる？底辺が y 軸の上にあるのに、高さに y 座標を使ってしまう。
どう確かめる？底辺 OC は y 軸の上。高さは A・B から y 軸までの長さで、x 座標の絶対値の 3 と 6。
気づくコツ：座標は (x, y) の順。まず横（x）、次にたて（y）を読むよ。目もり1つ分がいくつかも確かめよう。
ここまで理解できている？（前の学習）
つまずいたら、前に学んだところに戻っても大丈夫！
この問題は、次のことが分かっていれば解けるよ。1つずつ確かめよう。
- 1次関数 y＝ax＋b の変化の割合はいつも a で一定。グラフは直線。
中2「1次関数」を確かめる
ためしに1問：2点 (1, 2)、(3, 10) を通る直線の式は？
答えを見る
a＝(10－2)÷(3－1)＝4、b＝2－4＝－2 で、y＝4x－2
- x²＋px＋q＝0 は、左辺を因数分解できるときは、因数分解して「A×B＝0 なら A＝0 または B＝0」で解く。
中3「2次方程式」を確かめる
ためしに1問：x²－2x－8＝0 を解くと？
答えを見る
(x＋2)(x－4)＝0 で x＝－2、4
- x²＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)。たして x の係数、かけて定数の項になる2数 a、b をさがす。
中3「因数分解」を確かめる
ためしに1問：x²－5x＋6 を因数分解すると？
答えを見る
(x－2)(x－3)