放物線と直線 003
関数 y＝ax² のグラフ（放物線）は点 (－3, 9) を通ります。また、直線 ℓ は2点 (－2, 0)、(0, 2) を通ります。放物線と直線 ℓ の交点のうち、x 座標が正の点の座標を求めなさい。
どの形式で解くか、上のボタンでえらべるよ。
✏ 答案に書く の枠が、答案（ノート）に書くこと。そのほかは解説だよ。最後に「模範答案」があるよ。
1. 図
表や図で、ともなって変わる2つの量を見つけよう。x が2倍・3倍になると、y はどうなるかな？
2. おく
x と y が何の量かを1文で書いて、関係の形を決めよう。2乗に比例するなら y＝ax² とおくよ。a は、まだわからない数だね。
✏ 答案に書く
グラフの横の軸を x 軸、たての軸を y 軸とする。
放物線は関数 y＝ax² のグラフだと問題文にあるから、y＝
ℓ は2点を通る直線だから、y＝
解説：a・m・n は、まだわからない数。次の「3. 入れる」で、わかっていることを使って決めるよ。
3. 入れる
わかっている x と y の組を、おいた式に入れよう。x² を先に計算するよ。
✏ 答案に書く
放物線：
x＝－3 のとき y＝9 だから、y＝
9＝
ℓ：
x＝0 のとき y＝2 だから、y＝
x＝－2 のとき y＝0 を y＝
0＝
4. 求める
おいた式の、まだわからない数（a など）についての方程式になったね。y＝ax² なら、両辺を x² の値でわろう。関数が2つあるときは、2つ目の式の数（b や、直線の m・n、k など）も、それぞれ求めるよ。
✏ 答案に書く
放物線：
9a＝
a＝
ℓ：
n＝
－2m＝
m＝
5. 式にする
求めた数（a など）を、おいた式に戻すと、x と y の関係が1つの式になるよ。
✏ 答案に書く
放物線：
a＝1 を y＝
y＝
ℓ：
m＝1、n＝2 を y＝
y＝
6. 使う
式ができれば、どんな x でも y がわかる。y から x を求めるときは、x が2つある場合に気をつけよう。
✏ 答案に書く
2つの式の y を等しいとおくと、x2＝
移項して整理すると、x2－
(x＋
x＝－1、2
x 座標が正の点だから、x＝2。
x＝2 を y＝
7. 確かめる
はじめの組や、ほかの組に戻して、式が合っているか確かめよう。
✏ 答案に書く
放物線が通る点の組、x＝－3、y＝9 を y＝
ℓ が通る点の組、x＝－2、y＝0 を y＝
求めた交点の組、x＝2、y＝4 を y＝
✏ 答案に書く
放物線と直線 ℓ の交点のうち、x 座標が正の点の座標は (2, 4) である。
答え (2, 4)
模範答案
答案（ノート）には、右側の文と式を上から順に書こう。色の枠 は段階の名前だから、答案には書かないよ。
- おくグラフの横の軸を x 軸、たての軸を y 軸とする。
放物線は関数 y＝ax² のグラフだと問題文にあるから、y＝ax2 とおく。
ℓ は2点を通る直線だから、y＝mx＋ とおく。n - 入れる放物線：
x＝－3 のとき y＝9 だから、y＝ax2 に代入すると、
9＝a×(－3)2
ℓ：
x＝0 のとき y＝2 だから、y＝mx＋ の n は 2。n
x＝－2 のとき y＝0 を y＝mx＋ に代入すると、2
0＝m×(－2)＋ 2 - 求める放物線：
9a＝9
a＝9÷9＝ 1
ℓ：
n＝2
－2m＝0－ 2＝ －2
m＝－2÷(－2)＝ 1 - 式にする放物線：
a＝1 を y＝ax2 に戻すと、
y＝x2
ℓ：
m＝1、n＝2 を y＝mx＋ に戻すと、n
y＝x＋ 2 - 使う2つの式の y を等しいとおくと、x2＝
x＋ 2
移項して整理すると、x2－x－ 2＝ 0
(x＋1)(x－ 2)＝ 0
x＝－1、2
x 座標が正の点だから、x＝2。
x＝2 を y＝x2 に代入すると、y＝22＝ 4 - 確かめる放物線が通る点の組、x＝－3、y＝9 を y＝
x2 に入れると、y＝(－3)2＝ 。合っている。9
ℓ が通る点の組、x＝－2、y＝0 を y＝x＋ に入れると、y＝2 (－2)＋ 。合っている。2＝ 0
求めた交点の組、x＝2、y＝4 を y＝x＋ に入れると、y＝2 2＋ 。合っている。2＝ 4
放物線と直線 ℓ の交点のうち、x 座標が正の点の座標は (2, 4) である。
答え (2, 4)
解けたね！ どうしてその形でおけたのか、自分の言葉で言えたかな？ 次は、ちがう分野の問題にも挑戦してみよう。
もっと見たい人へ（開くと表示されるよ）
その形でおける理由を自分の言葉で書く（「2. おく」のふり返り）
自分の言葉で書くと、ぐっとわかるようになるよ。
「2. おく」で、y＝
なぜ、その形でおけると言えるのかな？ 自分の言葉で書いてみよう。
ヒント：問題文の言葉や、表で x が2倍・3倍になったときの y の変わり方を使って書こう。
模範を見る
放物線は関数 y＝ax² のグラフだから y＝ax²、ℓ は直線だから y＝mx＋n とおける（a は放物線で使ったので、直線の傾きと切片は m・n で表す）。交点は両方のグラフの上にあるので、交点の x では2つの式の y の値が等しい。
間違い探し
まちがいは、伸びる材料だよ。どこが違うか探してみよう。
この問題で起きやすいまちがいを、つまずきやすいポイントごとに並べたよ。どこが違うか考えてから開いてみよう。
聞かれていることとのずれつまずきやすい段階：「確かめる」
Aさんはこう書きました：(－1, 1) どこが違う？
なぜそう書きたくなる？2つの交点のうち、どちらを聞かれているかを確かめずに答えてしまう。
どう確かめる？x²－x－2＝0 の解は x＝－1、2。x 座標が正の点は x＝2。
気づくコツ：最後に問題文をもう一度読んで、聞かれている量（x か y か、何の量か）で答えよう。
符号のまちがいつまずきやすい段階：「入れる」
Aさんはこう書きました：x²＝x＋2 を x²＋x－2＝0 とする どこが違う？
なぜそう書きたくなる？右辺の x を左辺に移すときに、符号を変えるのを忘れてしまう。
どう確かめる？移項すると符号が変わるので x²－x－2＝0。x＝1 は、放物線では y＝1、ℓ では y＝3 で、交点にならない。
気づくコツ：負の数を代入するときは、かっこをつけて (－3) のように書こう。
ここまで理解できている？（前の学習）
つまずいたら、前に学んだところに戻っても大丈夫！
この問題は、次のことが分かっていれば解けるよ。1つずつ確かめよう。
- 1次関数 y＝ax＋b の変化の割合はいつも a で一定。グラフは直線。
中2「1次関数」を確かめる
ためしに1問：2点 (1, 2)、(3, 10) を通る直線の式は？
答えを見る
a＝(10－2)÷(3－1)＝4、b＝2－4＝－2 で、y＝4x－2
- x²＋px＋q＝0 は、左辺を因数分解できるときは、因数分解して「A×B＝0 なら A＝0 または B＝0」で解く。
中3「2次方程式」を確かめる
ためしに1問：x²－2x－8＝0 を解くと？
答えを見る
(x＋2)(x－4)＝0 で x＝－2、4
- x²＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)。たして x の係数、かけて定数の項になる2数 a、b をさがす。
中3「因数分解」を確かめる
ためしに1問：x²－5x＋6 を因数分解すると？
答えを見る
(x－2)(x－3)