放物線と直線 002
関数 y＝ax² のグラフ（放物線）は点 (3, －9) を通ります。この放物線と、点 (0, －4) を通り x 軸に平行な直線 ℓ との交点を A、B とします。原点を O とするとき、△OAB の面積を求めなさい。
どの形式で解くか、上のボタンでえらべるよ。
✏ 答案に書く の枠が、答案（ノート）に書くこと。そのほかは解説だよ。最後に「模範答案」があるよ。
1. 図
表や図で、ともなって変わる2つの量を見つけよう。x が2倍・3倍になると、y はどうなるかな？
2. おく
x と y が何の量かを1文で書いて、関係の形を決めよう。2乗に比例するなら y＝ax² とおくよ。a は、まだわからない数だね。
✏ 答案に書く
グラフの横の軸を x 軸、たての軸を y 軸とする。
放物線は関数 y＝ax² のグラフだと問題文にあるから、y＝
ℓ は x 軸に平行な直線で、どの点でも y 座標が同じだから、y＝
解説：a・k は、まだわからない数。次の「3. 入れる」で、わかっていることを使って決めるよ。
3. 入れる
わかっている x と y の組を、おいた式に入れよう。x² を先に計算するよ。
✏ 答案に書く
放物線：
x＝3 のとき y＝－9 だから、y＝
－9＝
ℓ：
ℓ は点 (0, －4) を通り x 軸に平行なので、ℓ の上の点の y 座標はいつも －4。だから、
4. 求める
おいた式の、まだわからない数（a など）についての方程式になったね。y＝ax² なら、両辺を x² の値でわろう。関数が2つあるときは、2つ目の式の数（b や、直線の m・n、k など）も、それぞれ求めるよ。
✏ 答案に書く
放物線：
9a＝
a＝
ℓ：
k＝
5. 式にする
求めた数（a など）を、おいた式に戻すと、x と y の関係が1つの式になるよ。
✏ 答案に書く
放物線：
a＝－1 を y＝
y＝
ℓ：
k＝－4 を y＝
y＝
6. 使う
式ができれば、どんな x でも y がわかる。y から x を求めるときは、x が2つある場合に気をつけよう。
✏ 答案に書く
2つの式の y を等しいとおくと、－x2＝
x2＝
x は、2乗すると 4 になる数だから、x＝2 または x＝－2。
A と B のうち、x 座標が正の方を B とすると、x＝2。
x＝2 を y＝
A の x 座標は －2 なので、AB の長さは 2－
AB を底辺とすると、高さは原点 O から ℓ までの長さで 4。
△OAB の面積は 12×4×4＝
7. 確かめる
はじめの組や、ほかの組に戻して、式が合っているか確かめよう。
✏ 答案に書く
はじめの組、x＝3、y＝－9 を y＝
✏ 答案に書く
△OAB の面積は 8 である。
答え 8
模範答案
答案（ノート）には、右側の文と式を上から順に書こう。色の枠 は段階の名前だから、答案には書かないよ。
- おくグラフの横の軸を x 軸、たての軸を y 軸とする。
放物線は関数 y＝ax² のグラフだと問題文にあるから、y＝ax2 とおく。
ℓ は x 軸に平行な直線で、どの点でも y 座標が同じだから、y＝k とおく。 - 入れる放物線：
x＝3 のとき y＝－9 だから、y＝ax2 に代入すると、
－9＝a×32
ℓ：
ℓ は点 (0, －4) を通り x 軸に平行なので、ℓ の上の点の y 座標はいつも －4。だから、 - 求める放物線：
9a＝－9
a＝－9÷9＝ －1
ℓ：
k＝－4 - 式にする放物線：
a＝－1 を y＝ax2 に戻すと、
y＝－x2
ℓ：
k＝－4 を y＝k に戻すと、
y＝－4 - 使う2つの式の y を等しいとおくと、－x2＝
－4
x2＝4
x は、2乗すると 4 になる数だから、x＝2 または x＝－2。
A と B のうち、x 座標が正の方を B とすると、x＝2。
x＝2 を y＝－x2 に代入すると、y＝－1×22＝ －4
A の x 座標は －2 なので、AB の長さは 2－(－2)＝ 。4
AB を底辺とすると、高さは原点 O から ℓ までの長さで 4。
△OAB の面積は 12×4×4＝8 。 - 確かめるはじめの組、x＝3、y＝－9 を y＝
－x2 に入れると、y＝－1×32＝ 。合っている。－9
△OAB の面積は 8 である。
答え 8
解けたね！ どうしてその形でおけたのか、自分の言葉で言えたかな？ 次は、ちがう分野の問題にも挑戦してみよう。
もっと見たい人へ（開くと表示されるよ）
その形でおける理由を自分の言葉で書く（「2. おく」のふり返り）
自分の言葉で書くと、ぐっとわかるようになるよ。
「2. おく」で、y＝
なぜ、その形でおけると言えるのかな？ 自分の言葉で書いてみよう。
ヒント：問題文の言葉や、表で x が2倍・3倍になったときの y の変わり方を使って書こう。
模範を見る
放物線は関数 y＝ax² のグラフだから y＝ax² とおける。ℓ は x 軸に平行なので y＝－4 と表せる（1次関数ではない）。放物線は y 軸について対称だから、交点 A・B も y 軸について対称になる。
間違い探し
まちがいは、伸びる材料だよ。どこが違うか探してみよう。
この問題で起きやすいまちがいを、つまずきやすいポイントごとに並べたよ。どこが違うか考えてから開いてみよう。
符号のまちがいつまずきやすい段階：「入れる」
Aさんはこう書きました：△OAB＝(1/2)×4×(－4)＝－8 どこが違う？
なぜそう書きたくなる？高さに、座標の －4 をそのまま使ってしまう。
どう確かめる？長さや面積は負の数にならない。原点 O から ℓ までは 4 目もり分。
気づくコツ：負の数を代入するときは、かっこをつけて (－3) のように書こう。
グラフ・座標の読みちがいつまずきやすい段階：「図」
Aさんはこう書きました：AB＝2 として △OAB＝(1/2)×2×4＝4 どこが違う？
なぜそう書きたくなる？B の x 座標だけを見て、AB の長さにしてしまう。
どう確かめる？A(－2, －4) から B(2, －4) までは 2－(－2)＝4。放物線は y 軸について対称なので、AB は B の x 座標の 2 倍になる。
気づくコツ：座標は (x, y) の順。まず横（x）、次にたて（y）を読むよ。目もり1つ分がいくつかも確かめよう。
ここまで理解できている？（前の学習）
つまずいたら、前に学んだところに戻っても大丈夫！
この問題は、次のことが分かっていれば解けるよ。1つずつ確かめよう。
- 2乗すると a になる数を a の平方根という。正の数の平方根は、正と負の2つある。
中3「平方根」を確かめる
ためしに1問：x²＝49 を満たす x は？
答えを見る
x＝7、－7
- (－3)² は (－3)×(－3)＝9。－3² は －(3×3)＝－9。かっこの有無で答えが変わる。
中1「正負の数と累乗」を確かめる
ためしに1問：(－4)² は？
答えを見る
16
- 点の位置は (x 座標, y 座標) で表す。座標の見方を使うと、y 軸について対称な点は、x 座標の符号だけが反対になる。
中1「座標」を確かめる
ためしに1問：点 (2, －8) と y 軸について対称な点は？
答えを見る
(－2, －8)