中3 · 図形 / 三平方の定理

考え方 · 面積から長さへ

まず小学校の「正方形の面積＝1辺×1辺」を思い出そう。答えが分からないときは、ここに戻ってよいよ。

1. 面積を比べて予想しよう

3 cm、4 cm、5 cmの直角三角形で、各辺を1辺とする正方形を紙にかいてみよう。面積9、16、25にはどんな関係があるかな。

2. 直角と斜辺を見つけよう

直角の向かいの、最も長い辺が斜辺。直角をはさむ2辺をa、b、斜辺をcとすると、a²＋b²＝c²。これが三平方の定理だよ。すべての三角形に使える式ではないよ。

3. 面積で証明を読む

外側の正方形の面積は(a＋b)²。4枚の三角形の面積は4×ab÷2＝2ab。中央の正方形の面積はc²。だから(a＋b)²＝2ab＋c²を整理するとa²＋b²＝c²になるよ。

中央は4辺がcで、各角は180°から元の三角形の2つの鋭角の和90°を引いた90°。だから正方形といえるよ。

4. 長さを求める手順

1. 直角の根拠を確認する。
2. 斜辺を見つけ、求める長さをxとおく。
3. 斜辺の2乗＝ほかの2辺の2乗の和、と書く。
4. x²を求めてから正の平方根をとる。
5. 単位と、斜辺が最も長いかを確認する。

例：斜辺10 cm、ほかの辺6 cmなら、x²＋6²＝10²。x²＝64、x＝8 cmだよ。

5. 平方根を思い出す

√72＝√(36×2)＝6√2。x²＝72の方程式には正負2つの解があるけれど、ここでは長さなのでx＝6√2だよ。√(a²＋b²)をa＋bにはできないよ。

6. 逆も使える

三角形の最長辺をcとする。a²＋b²＝c²なら、この三角形は直角三角形になる。これを三平方の定理の逆というよ。cの向かいが直角だよ。

7. 図の中に直角を作る

二等辺三角形は高さ、円は中心から弦への垂線、直方体は底面の対角線に注目しよう。空間では、直角三角形を1枚の平面として取り出すと考えやすいよ。