y＝ax² の場面 012
噴水の水を真上にふき出すとき、水が上がる高さは、水がふき出す速さの2乗に比例します。秒速 10 m でふき出すと、およそ 5 m の高さまで上がります。およそ 20 m の高さまで上げるには、秒速何 m でふき出せばよいですか（空気の影響は考えない）。
どの形式で解くか、上のボタンでえらべるよ。
✏ 答案に書く の枠が、答案（ノート）に書くこと。そのほかは解説だよ。最後に「模範答案」があるよ。
1. 図
表や図で、ともなって変わる2つの量を見つけよう。x が2倍・3倍になると、y はどうなるかな？
2. おく
x と y が何の量かを1文で書いて、関係の形を決めよう。2乗に比例するなら y＝ax² とおくよ。a は、まだわからない数だね。
やってみよう：形をえらぶ
x と y の関係は、どの形でおける？
- ヒント1／3：x が2倍になると、y は何倍になっているかな？ 4倍なら「2乗に比例」だよ。
- ヒント2／3：y÷x² がいつも同じ数になっていれば、y＝ax² とおけるよ。
✏ 答案に書く
水がふき出す速さを秒速 x m、水が上がる高さを y m とする。
真上にふき出すとき、水が上がる高さは、ふき出す速さの2乗に比例するから、y＝
解説：a は、まだわからない数。次の「3. 入れる」で、わかっていることを使って決めるよ。
3. 入れる
わかっている x と y の組を、おいた式に入れよう。x² を先に計算するよ。
✏ 答案に書く
x＝10 のとき y＝5 だから、y＝
5＝
4. 求める
おいた式の、まだわからない数（a など）についての方程式になったね。y＝ax² なら、両辺を x² の値でわろう。関数が2つあるときは、2つ目の式の数（b や、直線の m・n、k など）も、それぞれ求めるよ。
✏ 答案に書く
100a＝
a＝
5. 式にする
求めた数（a など）を、おいた式に戻すと、x と y の関係が1つの式になるよ。
✏ 答案に書く
a＝1/20 を y＝
y＝
6. 使う
式ができれば、どんな x でも y がわかる。y から x を求めるときは、x が2つある場合に気をつけよう。
✏ 答案に書く
聞かれているのは、高さが 20 m になる速さだから、y＝20 を代入する。
y＝
20＝
x2＝
x は、2乗すると 400 になる数だから、x＝20 または x＝－20。
速さは正の数だから、x＝20。
7. 確かめる
はじめの組や、ほかの組に戻して、式が合っているか確かめよう。
✏ 答案に書く
はじめの組、x＝10、y＝5 を y＝
解説：答えを問題の場面に戻すと
高さを 5 m の 4 倍にするには、速さは 2 倍（2²＝4）でよい。秒速 20 m は秒速 10 m の 2 倍で、合っている。高さを 4 倍にするのに、速さは 4 倍もいらない。
✏ 答案に書く
およそ 20 m の高さまで上げるには、秒速およそ 20 m でふき出せばよい。
答え 秒速およそ 20 m
模範答案
答案（ノート）には、右側の文と式を上から順に書こう。色の枠 は段階の名前だから、答案には書かないよ。
- おく水がふき出す速さを秒速 x m、水が上がる高さを y m とする。
真上にふき出すとき、水が上がる高さは、ふき出す速さの2乗に比例するから、y＝ax2 とおく（問題文）。 - 入れるx＝10 のとき y＝5 だから、y＝
ax2 に代入すると、
5＝a×102 - 求める100a＝
5
a＝5÷100＝ 120 - 式にするa＝1/20 を y＝
ax2 に戻すと、
y＝120x2 - 使う聞かれているのは、高さが 20 m になる速さだから、y＝20 を代入する。
y＝120x2 に y＝20 を代入すると、
20＝120x2
x2＝20÷(120)＝ 400
x は、2乗すると 400 になる数だから、x＝20 または x＝－20。
速さは正の数だから、x＝20。 - 確かめるはじめの組、x＝10、y＝5 を y＝
120x2 に入れると、y＝120×102＝ 。合っている。5
およそ 20 m の高さまで上げるには、秒速およそ 20 m でふき出せばよい。
答え 秒速およそ 20 m
解けたね！ どうしてその形でおけたのか、自分の言葉で言えたかな？ 次は、ちがう分野の問題にも挑戦してみよう。
もっと見たい人へ（開くと表示されるよ）
その形でおける理由を自分の言葉で書く（「2. おく」のふり返り）
自分の言葉で書くと、ぐっとわかるようになるよ。
「2. おく」で、y＝
なぜ、その形でおけると言えるのかな？ 自分の言葉で書いてみよう。
ヒント：問題文の言葉や、表で x が2倍・3倍になったときの y の変わり方を使って書こう。
模範を見る
問題文に「噴水の水を真上にふき出すとき、水が上がる高さは、水がふき出す速さの2乗に比例します」とあるから。速さを x、高さを y とすると、y＝ax² とおける。
間違い探し
まちがいは、伸びる材料だよ。どこが違うか探してみよう。
この問題で起きやすいまちがいを、つまずきやすいポイントごとに並べたよ。どこが違うか考えてから開いてみよう。
形の取りちがえつまずきやすい段階：「おく」
Aさんはこう書きました：高さが 4 倍だから、速さも 10×4＝40 どこが違う？
なぜそう書きたくなる？高さと速さが比例すると考えてしまう。
どう確かめる？秒速 40 m なら、高さは (1/20)×40²＝80 m にもなる。高さは速さの2乗に比例する。
気づくコツ：表で x を2倍・3倍したとき y がどうなるか、x＝0 のとき y はいくつかを見ると、どの形でおけるかがわかるよ。
2乗の計算のまちがいつまずきやすい段階：「使う」
Aさんはこう書きました：x²＝400 だから秒速 400 m どこが違う？
なぜそう書きたくなる？x² を求めたところで、答えが出たと思ってしまう。
どう確かめる？2乗して 400 になる正の数は 20。
気づくコツ：x² は x×x。(－3)² は 9、－3² は －9 だよ。2倍ではなく、同じ数を2回かけるよ。
ここまで理解できている？（前の学習）
つまずいたら、前に学んだところに戻っても大丈夫！
この問題は、次のことが分かっていれば解けるよ。1つずつ確かめよう。
- 2乗すると a になる数を a の平方根という。正の数の平方根は、正と負の2つある。
中3「平方根」を確かめる
ためしに1問：x²＝49 を満たす x は？
答えを見る
x＝7、－7
- 比例は y＝ax。x が2倍になると y も2倍。y＝ax² は「x² に比例する」関数。
中1「比例」を確かめる
ためしに1問：y は x に比例し、x＝2 のとき y＝6。x＝5 のとき y は？
答えを見る
a＝3 で、y＝15