y＝ax² の場面 008
円の面積は、半径の2乗に比例します。半径が 10 cm の円の面積は 314 cm² です（円周率を 3.14 とする）。面積が 78.5 cm² の円の半径は何 cm ですか。
どの形式で解くか、上のボタンでえらべるよ。
✏ 答案に書く の枠が、答案（ノート）に書くこと。そのほかは解説だよ。最後に「模範答案」があるよ。
1. 図
表や図で、ともなって変わる2つの量を見つけよう。x が2倍・3倍になると、y はどうなるかな？
2. おく
x と y が何の量かを1文で書いて、関係の形を決めよう。2乗に比例するなら y＝ax² とおくよ。a は、まだわからない数だね。
やってみよう：形をえらぶ
x と y の関係は、どの形でおける？
- ヒント1／3：x が2倍になると、y は何倍になっているかな？ 4倍なら「2乗に比例」だよ。
- ヒント2／3：y÷x² がいつも同じ数になっていれば、y＝ax² とおけるよ。
✏ 答案に書く
円の半径を x cm、面積を y cm² とする。
円の面積は半径の2乗に比例するから、y＝
解説：a は、まだわからない数。次の「3. 入れる」で、わかっていることを使って決めるよ。
3. 入れる
わかっている x と y の組を、おいた式に入れよう。x² を先に計算するよ。
✏ 答案に書く
x＝10 のとき y＝314 だから、y＝
314＝
4. 求める
おいた式の、まだわからない数（a など）についての方程式になったね。y＝ax² なら、両辺を x² の値でわろう。関数が2つあるときは、2つ目の式の数（b や、直線の m・n、k など）も、それぞれ求めるよ。
✏ 答案に書く
100a＝
a＝
5. 式にする
求めた数（a など）を、おいた式に戻すと、x と y の関係が1つの式になるよ。
✏ 答案に書く
a＝3.14 を y＝
y＝
6. 使う
式ができれば、どんな x でも y がわかる。y から x を求めるときは、x が2つある場合に気をつけよう。
✏ 答案に書く
聞かれているのは、面積が 78.5 cm² になる半径だから、y＝78.5 を代入する。
y＝
78.5＝
x2＝
x は、2乗すると 25 になる数だから、x＝5 または x＝－5。
半径は正の数だから、x＝5。
7. 確かめる
はじめの組や、ほかの組に戻して、式が合っているか確かめよう。
✏ 答案に書く
はじめの組、x＝10、y＝314 を y＝
解説：答えを問題の場面に戻すと
半径 5 cm の円の面積は 5×5×3.14＝78.5 cm² で、合っている。求めた a＝3.14 は円周率で、小学校の「円の面積＝半径×半径×円周率」と同じ式になっている。
✏ 答案に書く
面積が 78.5 cm² の円の半径は 5 cm である。
答え 5 cm
模範答案
答案（ノート）には、右側の文と式を上から順に書こう。色の枠 は段階の名前だから、答案には書かないよ。
- おく円の半径を x cm、面積を y cm² とする。
円の面積は半径の2乗に比例するから、y＝ax2 とおく（問題文）。 - 入れるx＝10 のとき y＝314 だから、y＝
ax2 に代入すると、
314＝a×102 - 求める100a＝
314
a＝314÷100＝ 3.14 - 式にするa＝3.14 を y＝
ax2 に戻すと、
y＝3.14x2 - 使う聞かれているのは、面積が 78.5 cm² になる半径だから、y＝78.5 を代入する。
y＝3.14x2 に y＝78.5 を代入すると、
78.5＝3.14x2
x2＝78.5÷3.14＝ 25
x は、2乗すると 25 になる数だから、x＝5 または x＝－5。
半径は正の数だから、x＝5。 - 確かめるはじめの組、x＝10、y＝314 を y＝
3.14x2 に入れると、y＝3.14×102＝ 。合っている。314
面積が 78.5 cm² の円の半径は 5 cm である。
答え 5 cm
解けたね！ どうしてその形でおけたのか、自分の言葉で言えたかな？ 次は、ちがう分野の問題にも挑戦してみよう。
もっと見たい人へ（開くと表示されるよ）
その形でおける理由を自分の言葉で書く（「2. おく」のふり返り）
自分の言葉で書くと、ぐっとわかるようになるよ。
「2. おく」で、y＝
なぜ、その形でおけると言えるのかな？ 自分の言葉で書いてみよう。
ヒント：問題文の言葉や、表で x が2倍・3倍になったときの y の変わり方を使って書こう。
模範を見る
問題文に「円の面積は、半径の2乗に比例します」とあるから。半径を x cm、面積を y cm² とすると、y＝ax² とおける。a は円周率になる。
間違い探し
まちがいは、伸びる材料だよ。どこが違うか探してみよう。
この問題で起きやすいまちがいを、つまずきやすいポイントごとに並べたよ。どこが違うか考えてから開いてみよう。
2乗の計算のまちがいつまずきやすい段階：「使う」
Aさんはこう書きました：x²＝25 だから半径 25 cm どこが違う？
なぜそう書きたくなる？x² を求めたところで、答えが出たと思ってしまう。
どう確かめる？半径 25 cm の円の面積は 25×25×3.14＝1962.5 cm² で、大きすぎる。2乗して 25 になる数 5 が x。
気づくコツ：x² は x×x。(－3)² は 9、－3² は －9 だよ。2倍ではなく、同じ数を2回かけるよ。
形の取りちがえつまずきやすい段階：「おく」
Aさんはこう書きました：面積が 314 の 1/4 だから、半径も 10 の 1/4 で 2.5 cm どこが違う？
なぜそう書きたくなる？面積と半径が比例すると考えてしまう。
どう確かめる？半径 2.5 cm の円の面積は 2.5×2.5×3.14＝19.625 cm²。半径を 1/2 にすると、面積は 1/4 になる。
気づくコツ：表で x を2倍・3倍したとき y がどうなるか、x＝0 のとき y はいくつかを見ると、どの形でおけるかがわかるよ。
ここまで理解できている？（前の学習）
つまずいたら、前に学んだところに戻っても大丈夫！
この問題は、次のことが分かっていれば解けるよ。1つずつ確かめよう。
- 2乗すると a になる数を a の平方根という。正の数の平方根は、正と負の2つある。
中3「平方根」を確かめる
ためしに1問：x²＝49 を満たす x は？
答えを見る
x＝7、－7
- 比例は y＝ax。x が2倍になると y も2倍。y＝ax² は「x² に比例する」関数。
中1「比例」を確かめる
ためしに1問：y は x に比例し、x＝2 のとき y＝6。x＝5 のとき y は？
答えを見る
a＝3 で、y＝15