変化の割合 011
ボールを静かに落とすと、落ちる距離は落ちはじめてからの時間の2乗に比例し、3 秒間でおよそ 45 m 落ちます（空気の影響は考えない）。落ちはじめて 2 秒後から 4 秒後までの平均の速さは、落ちはじめてから 2 秒後までの平均の速さの何倍ですか。
どの形式で解くか、上のボタンでえらべるよ。
✏ 答案に書く の枠が、答案（ノート）に書くこと。そのほかは解説だよ。最後に「模範答案」があるよ。
1. 図
表や図で、ともなって変わる2つの量を見つけよう。x が2倍・3倍になると、y はどうなるかな？
くらべるのは、同じ 2 秒間の「はじめの 2 秒間」と「次の 2 秒間」の平均の速さだよ。
2. おく
x と y が何の量かを1文で書いて、関係の形を決めよう。2乗に比例するなら y＝ax² とおくよ。a は、まだわからない数だね。
やってみよう：形をえらぶ
x と y の関係は、どの形でおける？
- ヒント1／3：x が2倍になると、y は何倍になっているかな？ 4倍なら「2乗に比例」だよ。
- ヒント2／3：y÷x² がいつも同じ数になっていれば、y＝ax² とおけるよ。
✏ 答案に書く
落ちはじめてからの時間を x 秒、落ちる距離を y m とする。
落ちる距離は時間の2乗に比例するから、y＝
解説：a は、まだわからない数。次の「3. 入れる」で、わかっていることを使って決めるよ。
3. 入れる
わかっている x と y の組を、おいた式に入れよう。x² を先に計算するよ。
✏ 答案に書く
x＝3 のとき y＝45 だから、y＝
45＝
4. 求める
おいた式の、まだわからない数（a など）についての方程式になったね。y＝ax² なら、両辺を x² の値でわろう。関数が2つあるときは、2つ目の式の数（b や、直線の m・n、k など）も、それぞれ求めるよ。
✏ 答案に書く
9a＝
a＝
5. 式にする
求めた数（a など）を、おいた式に戻すと、x と y の関係が1つの式になるよ。
✏ 答案に書く
a＝5 を y＝
y＝
6. 使う
式ができれば、どんな x でも y がわかる。y から x を求めるときは、x が2つある場合に気をつけよう。
✏ 答案に書く
はじめに、落ちはじめてから 2 秒後までの平均の速さ（x が 0 から 2 まで増えるときの変化の割合）を求める。
x＝0 のとき y＝0、x＝2 のとき y＝20。
（変化の割合）＝（y の増加量）÷（x の増加量）だから、
20－
次に、2 秒後から 4 秒後までの平均の速さを求める。
x＝2 のとき y＝20、x＝4 のとき y＝80。
（変化の割合）＝（y の増加量）÷（x の増加量）だから、
80－
2 秒後から 4 秒後までの平均の速さは、はじめの 2 秒間の 30÷10＝
7. 確かめる
はじめの組や、ほかの組に戻して、式が合っているか確かめよう。
✏ 答案に書く
はじめの組、x＝3、y＝45 を y＝
解説：答えを問題の場面に戻すと
同じ 2 秒間でも、はじめの 2 秒間は 20 m、次の 2 秒間は 80－20＝60 m 落ちる。落ちる距離も 3 倍になっていて、合っている。落ちるにつれて速くなるので、あとの区間ほど平均の速さは大きい。
✏ 答案に書く
2 秒後から 4 秒後までの平均の速さは、落ちはじめてから 2 秒後までの平均の速さの 3 倍である。
答え 3 倍
模範答案
答案（ノート）には、右側の文と式を上から順に書こう。色の枠 は段階の名前だから、答案には書かないよ。
- おく落ちはじめてからの時間を x 秒、落ちる距離を y m とする。
落ちる距離は時間の2乗に比例するから、y＝ax2 とおく（問題文）。 - 入れるx＝3 のとき y＝45 だから、y＝
ax2 に代入すると、
45＝a×32 - 求める9a＝
45
a＝45÷9＝ 5 - 式にするa＝5 を y＝
ax2 に戻すと、
y＝5x2 - 使うはじめに、落ちはじめてから 2 秒後までの平均の速さ（x が 0 から 2 まで増えるときの変化の割合）を求める。
x＝0 のとき y＝0、x＝2 のとき y＝20。
（変化の割合）＝（y の増加量）÷（x の増加量）だから、
20－0 2－0 ＝202＝ 10
次に、2 秒後から 4 秒後までの平均の速さを求める。
x＝2 のとき y＝20、x＝4 のとき y＝80。
（変化の割合）＝（y の増加量）÷（x の増加量）だから、
80－20 4－2 ＝602＝ 30
2 秒後から 4 秒後までの平均の速さは、はじめの 2 秒間の 30÷10＝3 倍。 - 確かめるはじめの組、x＝3、y＝45 を y＝
5x2 に入れると、y＝5×32＝ 。合っている。45
2 秒後から 4 秒後までの平均の速さは、落ちはじめてから 2 秒後までの平均の速さの 3 倍である。
答え 3 倍
解けたね！ どうしてその形でおけたのか、自分の言葉で言えたかな？ 次は、ちがう分野の問題にも挑戦してみよう。
もっと見たい人へ（開くと表示されるよ）
その形でおける理由を自分の言葉で書く（「2. おく」のふり返り）
自分の言葉で書くと、ぐっとわかるようになるよ。
「2. おく」で、y＝
なぜ、その形でおけると言えるのかな？ 自分の言葉で書いてみよう。
ヒント：問題文の言葉や、表で x が2倍・3倍になったときの y の変わり方を使って書こう。
模範を見る
問題文に「落ちる距離は…時間の2乗に比例し」とあるから。時間を x 秒、距離を y m とすると、y＝ax² とおける。1組の値（3 秒で 45 m）で a が決まる。
間違い探し
まちがいは、伸びる材料だよ。どこが違うか探してみよう。
この問題で起きやすいまちがいを、つまずきやすいポイントごとに並べたよ。どこが違うか考えてから開いてみよう。
増加量・変化の割合のまちがいつまずきやすい段階：「求める」
Aさんはこう書きました：変化の割合は一定だから 1 倍 どこが違う？
なぜそう書きたくなる？1次関数と同じように、y＝ax² の変化の割合も一定だと思ってしまう。
どう確かめる？0 秒から 2 秒後は (20－0)÷2＝10、2 秒後から 4 秒後は (80－20)÷2＝30。区間によって変化の割合がちがう。
気づくコツ：（y の増加量）÷（x の増加量）。どちらも「あと－まえ」の順でひき算しよう。
聞かれていることとのずれつまずきやすい段階：「確かめる」
Aさんはこう書きました：80÷20＝4 倍 どこが違う？
なぜそう書きたくなる？落ちはじめから数えた距離どうしをくらべてしまう。
どう確かめる？くらべるのは平均の速さ。2 秒後から 4 秒後に落ちたのは 80－20＝60 m で、60÷2＝30。
気づくコツ：最後に問題文をもう一度読んで、聞かれている量（x か y か、何の量か）で答えよう。
ここまで理解できている？（前の学習）
つまずいたら、前に学んだところに戻っても大丈夫！
この問題は、次のことが分かっていれば解けるよ。1つずつ確かめよう。
- 1次関数 y＝ax＋b の変化の割合はいつも a で一定。グラフは直線。
中2「1次関数」を確かめる
ためしに1問：2点 (1, 2)、(3, 10) を通る直線の式は？
答えを見る
a＝(10－2)÷(3－1)＝4、b＝2－4＝－2 で、y＝4x－2
- 比例は y＝ax。x が2倍になると y も2倍。y＝ax² は「x² に比例する」関数。
中1「比例」を確かめる
ためしに1問：y は x に比例し、x＝2 のとき y＝6。x＝5 のとき y は？
答えを見る
a＝3 で、y＝15