a とグラフの形・いろいろな関数 011
ある町の水道料金は、1か月に使った水の量が 10 m³ 以下なら 1500 円です。10 m³ をこえると、こえた分の量に比例して、1 m³ あたり 200 円の料金が加わります（水の量は小数になることもあります。料金は、この問題のために決めたものです）。1か月に 16 m³ 使ったときの料金は何円ですか。
どの形式で解くか、上のボタンでえらべるよ。
✏ 答案に書く の枠が、答案（ノート）に書くこと。そのほかは解説だよ。最後に「模範答案」があるよ。
1. 図
表や図で、ともなって変わる2つの量を見つけよう。x が1増えるごとに、y はどれだけ増えるかな？
10 m³ までは 1500 円のまま。10 m³ をこえると、こえた分の量に比例して 1 m³ あたり 200 円の割合で料金が加わるので、グラフは点 (10, 1500) から右上へのびる直線になる。
2. おく
x と y が何の量かを1文で書いて、関係の形を決めよう。x が1増えるごとに y が同じだけ増える（へる）なら、y＝ax＋b とおくよ。a と b は、まだわからない数だね。
やってみよう：形をえらぶ
x と y の関係は、どの形でおける？
- ヒント1／3：10 m³ をこえた所だけを見よう。水の量が 1 m³ 増えると、料金はいつも同じだけ増えているかな？
- ヒント2／3：x が1増えるごとに y が同じだけ増えるなら、y＝ax＋b とおけるよ。
✏ 答案に書く
1か月に使った水の量を x m³、料金を y 円とする。
10 m³ をこえた区間（x＞10）では、料金はこえた分の量に比例して 1 m³ あたり 200 円の割合で増え、グラフは点 (10, 1500) からのびる直線になるから、y＝
解説：a・b は、まだわからない数。次の「3. 入れる」で、わかっていることを使って決めるよ。
3. 入れる
わかっている x と y の組を、おいた式に入れよう。
✏ 答案に書く
1 m³ あたり 200 円の割合で増える料金のグラフの傾きは 200 だから、a＝200。y＝
1500＝
4. 求める
まだわからない数についての方程式になったね。中2の1次関数と同じように解いて、a や b を求めよう。
✏ 答案に書く
1500＝
b＝
5. 式にする
求めた a と b を戻すと、x と y の関係が1つの式になるよ。
✏ 答案に書く
a＝200、b＝－500 を y＝
y＝
6. 使う
式ができれば、どんな x でも y がわかる。式が使える x の範囲（変域）にも気をつけよう。
✏ 答案に書く
16 m³ は 10 m³ をこえているので、x＞10 の区間の式を使う。x＝16 を代入する。
y＝
y＝
7. 確かめる
はじめの組や、ほかの組に戻して、式が合っているか確かめよう。
✏ 答案に書く
料金表の、ちょうど 10 m³ の組、x＝10、y＝1500 を y＝
10 m³ を 1 m³ こえたとき（1500＋200＝1700 円）の組、x＝11、y＝1700 を y＝
解説：答えを問題の場面に戻すと
16 m³ は、10 m³ を 6 m³ こえている。こえた分の料金は 200×6＝1200 円なので、1500＋1200＝2700 円で、式の答えと合っている。こえた分の量に比例するので、たとえば 10.5 m³ なら 1500＋200×0.5＝1600 円（階段のように 1700 円にはならない）。y＝200x－500 は x＞10 の区間で使う式で、x が 10 以下のときの料金は 1500 円のまま。区間によって決まり方が変わる関数だね。
✏ 答案に書く
1か月に 16 m³ 使ったときの料金は 2700 円である。
答え 2700 円
模範答案
答案（ノート）には、右側の文と式を上から順に書こう。色の枠 は段階の名前だから、答案には書かないよ。
- おく1か月に使った水の量を x m³、料金を y 円とする。
10 m³ をこえた区間（x＞10）では、料金はこえた分の量に比例して 1 m³ あたり 200 円の割合で増え、グラフは点 (10, 1500) からのびる直線になるから、y＝ax＋ とおく。b - 入れる1 m³ あたり 200 円の割合で増える料金のグラフの傾きは 200 だから、a＝200。y＝
200x＋ に x＝10、y＝1500 を代入すると、b
1500＝200×10＋ b - 求める1500＝
2000＋ b
b＝1500－ 2000＝ －500 - 式にするa＝200、b＝－500 を y＝
ax＋ に戻すと、b
y＝200x－ 500 - 使う16 m³ は 10 m³ をこえているので、x＞10 の区間の式を使う。x＝16 を代入する。
y＝200x－ に x＝16 を代入すると、500
y＝200×16－ 500＝ 2700 - 確かめる料金表の、ちょうど 10 m³ の組、x＝10、y＝1500 を y＝
200x－ に入れると、y＝500 200×10－ 。合っている。500＝ 1500
10 m³ を 1 m³ こえたとき（1500＋200＝1700 円）の組、x＝11、y＝1700 を y＝200x－ に入れると、y＝500 200×11－ 。合っている。500＝ 1700
1か月に 16 m³ 使ったときの料金は 2700 円である。
答え 2700 円
解けたね！ どうしてその形でおけたのか、自分の言葉で言えたかな？ 次は、ちがう分野の問題にも挑戦してみよう。
もっと見たい人へ（開くと表示されるよ）
その形でおける理由を自分の言葉で書く（「2. おく」のふり返り）
自分の言葉で書くと、ぐっとわかるようになるよ。
「2. おく」で、y＝
なぜ、その形でおけると言えるのかな？ 自分の言葉で書いてみよう。
ヒント：問題文の言葉や、表で x が2倍・3倍になったときの y の変わり方を使って書こう。
模範を見る
水の量を決めると料金はただ1つに決まるので、料金は水の量の関数である。10 m³ 以下では 1500 円のまま、10 m³ をこえると、こえた分の量に比例して 1 m³ あたり 200 円の割合で増えるので、区間によって決まり方が変わる。x＞10 の区間では、x が1増えると y はいつも 200 増えるので、1次関数 y＝ax＋b とおける。
間違い探し
まちがいは、伸びる材料だよ。どこが違うか探してみよう。
この問題で起きやすいまちがいを、つまずきやすいポイントごとに並べたよ。どこが違うか考えてから開いてみよう。
形の取りちがえつまずきやすい段階：「おく」
Aさんはこう書きました：200×16＝3200 円 どこが違う？
なぜそう書きたくなる？「1 m³ あたり 200 円」だけを読んで、料金が水の量に比例すると考えてしまう。
どう確かめる？10 m³ までは 1500 円のまま。1 m³ あたり 200 円が加わるのは、10 m³ をこえた 6 m³ 分だけ。1500＋200×6＝2700 円。
気づくコツ：表で x を2倍・3倍したとき y がどうなるか、x＝0 のとき y はいくつかを見ると、どの形でおけるかがわかるよ。
変域のまちがいつまずきやすい段階：「使う」
Aさんはこう書きました：1500＋200×16＝4700 円 どこが違う？
なぜそう書きたくなる？「こえた分の量に比例して」を読み落として、16 m³ 全部に 200 円をかけてしまう。
どう確かめる？こえた分は 16－10＝6 m³。1500＋200×6＝2700 円。グラフでも、x＝16 のときの y は 3000 より小さい。
気づくコツ：両はしの値だけでなく、途中でいちばん大きく・小さくなる所がないか、グラフで確かめよう。
ここまで理解できている？（前の学習）
つまずいたら、前に学んだところに戻っても大丈夫！
この問題は、次のことが分かっていれば解けるよ。1つずつ確かめよう。
- 1次関数 y＝ax＋b の変化の割合はいつも a で一定。グラフは直線。
中2「1次関数」を確かめる
ためしに1問：2点 (1, 2)、(3, 10) を通る直線の式は？
答えを見る
a＝(10－2)÷(3－1)＝4、b＝2－4＝－2 で、y＝4x－2
- ≦ はその数をふくむ、＜ はふくまない。変域は「小さい方 ≦ y ≦ 大きい方」の順に書く。
中1「不等号と変域」を確かめる
ためしに1問：「y は 0 以上 18 以下」を不等号で表すと？
答えを見る
0≦y≦18
学習指導要領の項目：C(1) ア(ｳ)