中3・円周角 ／ 図 → 式 → 理由
円周角の考え方
1. まず「どの弧？」を決めよう
AとBで円周を分けると、弧は2つできる。円周角∠APBが見ているのは、Pを含まない方の弧ABだよ。
角の記号∠APBでは、真ん中のPが頂点。頂点が円周上にある円周角と、中心Oにある中心角を見分けよう。
同じ円で、同じ弧に対する 円周角＝中心角÷2。中心角を求めるなら 中心角＝円周角×2。
中心角は、選んだ弧に対応する方を使うよ。大きい弧なら中心角は180°を超えることもある。
2. 同じ弧・半円を見つけよう
- 同じ弧の円周角は等しい。どちらも同じ中心角の半分だから。
- 半円の弧に対する円周角は90°。直径に対応する中心角が180°なので、180÷2＝90。
A・Bを共通にしても、2つの頂点が直線ABの反対側にある場合は違う弧を見ているよ。このとき2つの円周角の和は180°になる。
3. なぜ半分になるのかな
まずPBが直径の場合を考えよう。∠APBをαとするよ。
- OP＝OAは同じ円の半径。△OPAは二等辺三角形だよ。
- だから∠OAP＝∠APO＝α。
- OBはOPの延長。△OPAの外角∠AOBは、向かい合う2つの内角の和だからα＋α＝2α。
- 中心角は円周角の2倍。円周角は中心角の半分になるね。
直径が円周角の辺にならないときは？
補助線POを引き、反対側の円周まで延ばしてDとする。同じ理由で、弧AD・弧DBの角度をそれぞれ考えられるよ。
Oが∠APBの内側なら2つの角を足し、外側なら2つの角を引いて組み合わせると、中心角が円周角の2倍になる関係が保たれる。大きい弧では、その弧に対応する180°を超える中心角を使う。
例として問17で、中心のまわりが360°であることを使って確かめよう。場合分けの暗記より、「測定ではなく既習の性質から説明できる」ことを大切にしよう。
4. 円周角の定理の「逆」
今度は角の等しさから、4点が同じ円周上にあるかを調べよう。
異なる4点A・B・P・Qについて、PとQが直線ABの同じ側にあり、∠APB＝∠AQBなら、4点は同じ円周上にある。
「円周上にあるから角が等しい」が定理。「条件を満たす等しい角があるから円周上にある」が逆だよ。角の等しさだけで判断せず、点の位置も確認しよう。
5. 円の外から接線を作図する
中心Oの円の外にPがあるとき、Pから接線を引いてみよう。
- OPを結び、その中点Mを作図する。
- Mを中心に、OPを直径とする補助円をかく。
- 2つの円の交点TとPを結ぶ（もう1つの交点からも接線が引ける）。
TはOPを直径とする円の上なので、∠OTP＝90°。したがってPTは半径OTに垂直で、元の円の接線になる。中1で学んだ接線と半径の関係とつながるね。