考え方のまとめ

公式を選ぶ前に、何を求めるのかを図に書き込もう。rは半径、hは高さ、ℓは円錐の母線、Sは底面積だよ。

見取図と位置関係

異なる2直線は「交わる」「平行」「ねじれの位置」に分けられる。ねじれの位置は、交わらず、平行でもない関係だよ。

面を一定の方向に平行移動してできる柱体、平面図形を軸のまわりに回してできる回転体。動かす前の形と軸の位置が大切だよ。

扇形は円の θ/360 の部分。弧の長さ＝2πr×θ/360、面積＝πr²×θ/360。円錐の側面では、扇形の半径は母線、弧の長さは底面の円周だよ。

円柱は底面2枚＋側面、円錐は底面1枚＋側面。球の表面積は4πr²。円錐では高さと母線を使い分けよう。

柱体の体積＝底面積×高さ。錐体はその1/3。球の体積＝4πr³/3。高さは底面に垂直な長さで、斜めの辺の長さとは違うよ。実験は公式を理解する手がかりで、厳密な証明そのものではないよ。

必要な面だけを足す、空洞を引く、水位の変化を体積に置き換える。式の数字が何を表しているかも言葉にしよう。

側面を開くと半径ℓの扇形。弧の長さは2πrなので、半径ℓの円周2πℓのうちr/ℓの部分だよ。面積も同じ割合で、πℓ²×r/ℓ＝πrℓになるね。

球の表面に細い紙や糸をすき間が少なくなるように巻き、同じ半径の円4枚分の面積と比べてみよう。球に外接する円柱（半径r、高さ2r）の体積2πr³と比べると、球はその2/3になるよ。模型の実験は近似で、厳密な証明ではないことも区別しよう。