くじ引きの順番は有利不利がある？3人で比較

くじを先に引けるなら、先に手を伸ばしたほうが得なのかな。最後には1本しか残らないから、不利にも見えます。スポーツの抽選を入口に、この疑問を3人のくじで確かめます。先頭、真ん中、最後のうち、どこを選びたいか、理由も一つ考えてみよう。

日本野球機構（NPB）は2026年8月19日、2026年新人選手選択会議を10月22日（木）に開催すると発表しました。2026年9月28日に公式発表を確認しています。ここから扱う3人の例は数学の学習用です。実際に競合する球団数の予想でも、ドラフトの全手順の再現でもありません。

大石浩之（磐田市／不動産業）です。私は、数学の答えを聞くだけでなく、自分で確かめる材料を持ってほしいと考えています。今回は実体験の紹介ではなく、条件を決めたくじのモデルを使います。順番を選ぶ気持ちと、当たる確率を、少しずつ分けてみます。

1. 3本のくじで、比べる条件をそろえる

3本中当たり1本のくじを、Aさん、Bさん、Cさんの順に1本ずつ、戻さずに引きます。どの段階でも、残った各くじが同じ確率で選ばれると仮定します。比べたいのは、誰も引いていない時点で、各人が当たりを手にする確率です。

当たりを「当」、はずれを「①」「②」と区別します。はずれに番号を付けても景品や当たりの本数は変わりません。2本の別々の紙を数え分けるための名前です。番号は紙を開いた内側にあり、引く前には見えないものとします。

くじの大きさや折り方はそろえ、印や手触りから中身を選べない条件を置きます。「よく混ぜた」と言うだけで、現実に完全な等確率が証明されるわけではありません。まず数学で考える条件をはっきりさせ、後で現実の抽選と照らし合わせます。

啓林館の「知が啓く。啓林館の算数・数学」テーマ4にも、3本中当たり1本を3人が引く例があります。各人の当選確率は1/3と説明されています。この記事では、その結論を覚える代わりに、区別した3本の並びを全部書いて理由を確かめます。

「3人いるから1/3」と人数だけで割ってよいわけではありません。例えば当たりの印が外から見えれば、先の人が選べてしまいます。数える前の条件は、同様に確からしい場合を考える章でも確認できます。

2. 樹形図の6通りは、全員に2通りずつ

番号で区別した3本を引く並びは、全部で6通りあります。最初のAさんに3通り、それぞれについてBさんに2通り、最後のCさんには残った1通りです。3×2×1＝6と数えられ、同じ並びを二度数えずに列挙できます。

Aさんが「当」を引く枝からは、Bさんが①ならCさんは②、Bさんが②ならCさんは①と分かれます。Aさんが①の枝と②の枝も、同じように残り2本へ分かれます。最後の人の紙は、前の2人が引いた紙と重なりません。

この6通りは、どれも同じくらい起こりやすい並びです。最初の3本の選ばれ方は等しく、その後の2本の選ばれ方も等しい、という仮定が根拠です。枝の終わりが6本あるという形だけで等確率と決めたのではありません。樹形図の書き方は、もれなく場合を数える章で練習できます。

図の右端で当たる人を数えると、Aさんが2通り、Bさんが2通り、Cさんが2通りです。分母は同じくらい起こりやすい全6通り、分子はその人が当たる2通り。したがって、誰についても2/6＝1/3です。先に引くか最後に引くかで、引く前の当選確率に差はありません。

意外なのは、最後のCさんは紙を選ぶ余地がないのに、不利ではないことです。選べる本数と、当たりを持つ確率は別のものです。最初に並びを決めて、左からA、B、Cへ配ると想像しても同じです。当たりが置かれる位置は、6通りの中で各位置に2回ずつ現れます。

ここで、図の6通りと、実際に6回引くことを混ぜないようにします。図は起こり得る並びの一覧です。実験を6回すれば6種類が一度ずつ出る、という予定表ではありません。同じ並びが続くことも、まだ現れない並びが残ることもあります。

3. Aさんのはずれを知ると、分母が変わる

Aさんがはずれだったと分かった後では、BさんとCさんが当たる確率は、それぞれ1/2です。引く前の1/3と矛盾しません。「Aさんがはずれだった」という新しい情報に合う並びだけを残して、問い直しているからです。

図では「当①②」「当②①」の2通りを除きます。残った4通りは、元の等確率の並びの一部なので、この条件の下でも同じくらい起こりやすいと考えられます。Bさんが当たる並びは2通りのまま。分母が6から4へ変わり、2/4＝1/2になります。

反対に、Aさんが当たりだったと分かれば、BさんもCさんも当たる確率は0です。さらに、AさんとBさんが両方はずれと分かれば、Cさんに残る1本は当たりです。この条件の下ではCさんが当たる確率は1になります。

「最後なら必ず当たる」のではありません。「前の2人が両方はずれだったと分かっているなら、最後は当たり」です。条件の一文が付くだけで、答えている問いは変わります。先の人が当たりを引く場合も含めて比べた最初の1/3を、後から知った結果で書き換えてはいけません。

途中で紙が引かれても、中身について何も知らされなければ、その情報だけで当たりの位置を絞れません。引く前から必ず誰かが1本引くことは予定されていたためです。このモデルで順番以外の手掛かりがなければ、Bさんの当選確率は1/3のままです。「引いた」と「結果を知った」を分けると、迷った場所が見つかります。

4. 公平さは、順番以外の条件も確かめる

3人のくじで等しいと確かめたのは、決めた条件の下での当選確率です。実際の抽選が同じ条件を満たすかどうかは、紙の作り方や選び方を確認しなければ分かりません。数学モデルだけで、特定の抽選の運営まで保証することはできません。

くじという方法の良い点は、条件がそろえば、順番の好みによらず当たる機会を等しくできることです。3人のうち誰が話し上手か、誰が強く希望したかとは分けて決められます。結果が一人だけに決まっても、それだけで引く前の機会が不公平だったとは言えません。

私から注文したいのは、「公平だから」で説明を終えないことです。戻すのか戻さないのか、当たりは何本か、途中の結果を見せるのか。始める前に同じ条件を共有したい。私は、結果に納得しにくい人へも、どの6通りを数えたかを見せられる決め方がよいと考えます。

例えば、毎回くじを戻して混ぜ直す方法なら、3人とも当たる場合や、誰も当たらない場合が出てきます。今回の6通りの樹形図を、そのまま使うことはできません。「くじ引き」という名前が同じでも、操作が違えば起こり得る結果も変わります。

数字を読む前に問いをそろえる姿勢は、降水確率と降水量の違いにも通じます。雨の降りやすさと雨の量を分けるように、くじでも「開始前の機会」と「結果を知った後の見込み」を分けます。1/3という数だけを取り出さず、何を知っている時点なのかも添えます。

前の結果で次の確率が変わらない例は、コイントスで3回連続表になる確率で比べられます。くじを戻さない場合との違いを、8通りの樹形図で確かめます。

5. 今日、3枚の紙で自分の予想を確かめる

3枚の紙に「当」「①」「②」と書けば、図の6通りを手元で並べられます。A、B、Cの場所を紙に描き、まず当たりをAに置いて残りを入れ替えます。次にB、Cへ動かし、同じ並びの重複がないかを見てください。

私には、最後の1本を渡されるほうが気楽なのか、自分で選ぶほうが納得できるのか、迷いがあります。好みまで1/3で決める必要はないと思います。ただし、好みを「当たりやすい」という説明にするなら、図で確かめる根拠が要ります。

私はこう考えます。納得を急がせるより、自分で確かめる材料を渡したい。 先が得だと思った理由も、最後が嫌だと感じた理由も、捨てずに紙の横に書けばよい。6通りと照らして考えが変わったなら、それが今日の成果です。数学は、誰かの言い切りにすぐ従うためではなく、自分で選ぶ足場にもなります。

実験するなら、3人が1枚ずつ引くところまでを1回とし、各人の当たりを記録します。次の回の前には3枚を全部戻して混ぜ直します。回を重ねた割合の見方は、多数回の試行の章につながります。少ない回数で差が出ても、それだけで順番の有利不利は決まりません。

最初の問いに戻ると、この条件では順番による当選確率の差はありません。友達に説明するときは「全員1/3」に、「引く前」「戻さない」「各くじが等確率」の言葉を添えよう。開催情報は変更されることがあるため、ドラフトの日程はNPBの最新発表で確認してください。この記事は抽選の数学を考えるもので、勝敗の予測や賭け事をすすめるものではありません。