考え方の道具箱

紙に三角形をかいて、切り取ったつもりで回したり裏返したりしてみよう。ぴったり重なる2つの図形を合同というよ。向きではなく、対応する辺や角を見るのが出発点だよ。

同位角・錯角は、まず角の位置関係を表す名前だよ。2直線が平行なとき、同位角や錯角は等しくなる。対頂角は、2直線が交わってできる向かい合う角で、平行の条件がなくても等しいよ。平行を示したいときは、同位角または錯角が等しいことを根拠にできる。

凸五角形なら3個、凸六角形なら4個。1つの頂点から対角線を引くと、凸n角形はn−2個の三角形になるので、内角の和は180°×(n−2)。凸多角形を同じ向きにたどると1周で360°曲がるから、外角の和は360°。正多角形の1つの角は、角の和を頂点の数で割ると求められるよ。

①3組の辺がそれぞれ等しい。②2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。③1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。このいずれかを満たせば三角形は合同になるよ。「その間」「その両端」を省かずに確認しよう。3つの角だけでは、大きさは決まらないよ。

①比較する2つの三角形を書く。②仮定、共通な辺、対頂角、平行線の錯角などを根拠に、等しい辺や角を並べる。③使う合同条件を書く。④対応する頂点をそろえて合同を書く。⑤合同から対応する辺や角の等しさを導く。まだ示していない結論を途中の根拠に使わないことも大切だよ。

定義は言葉の意味を決める約束。例えば、平行四辺形は2組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形。「AならばB」の逆は「BならばA」。逆は正しいとは限らない。正しくないことを示す具体例を反例というよ。反例は1つあればよいけれど、正しい例をいくつ調べても、すべての場合の証明にはならないよ。