考え方 ／ 調べる → 整理する → 推定する
一部から全体を考えよう
600人全員に聞かないと、分からない？
全校生徒の通学時間を知りたい。でも、全員に聞く時間がない。60人だけに聞くとしたら、どう選ぶ？
考え方を見てみる
友だちだけでは、住む地域や学年が偏るかもしれないね。全校からくじや乱数で選び、その人たちの通学時間を手がかりに、全体の傾向を見積もる方法があるよ。
1. 全体と、調べた一部を区別しよう
知りたい対象全体を母集団、そこから取り出して調べる一部を標本というよ。取り出した人数や個数が標本の大きさ。ここでは60だね。
全数調査
対象を全部調べる方法。遠足の参加者全員のアレルギーなど、一人ひとりの情報が必要なときに使うよ。
標本調査
一部を調べ、全体の傾向を推定する方法。全部調べると時間や費用がかかったり、製品を使い切ってしまったりするときに役立つよ。
2. 「適当に選ぶ」と「無作為」は違うよ
全員に番号を付け、くじや乱数で選ぼう。調べる人の好みを入れず、どの対象にも等しい選ばれやすさをつくる方法が無作為抽出だよ。
- 母集団の全員に番号を1つずつ付ける。
- 同じ形の番号札をよく混ぜて引く、またはコンピュータの乱数を使う。
- 同じ人を2回選ばない調査では、重複する番号を除く。範囲外の番号も飛ばす。
- 選んだ人に同じ条件・質問で調査する。回答がなかった人数も記録する。
無作為に選んでも、全体と同じ割合になるとは限らないよ。偶然によるずれは残るんだ。
問題7〜12で選び方を考える →3. 標本を表や数で整理しよう
60人に「朝に読書するか」を聞いて全員が答えた、という学習用の例を考えるよ。
| 回答 | 人数（度数） | 割合（相対度数） |
|---|---|---|
| する | 24人 | 24÷60＝0.4 |
| しない | 36人 | 36÷60＝0.6 |
| 合計 | 60人 | 1 |
標本の中で「する」と答えた割合は40％。調べる人数が違うときは、人数だけでなく割合で比べよう。
時間や長さを調べた場合は、合計を標本の大きさで割った平均も手がかりになるよ。平均だけでなく、値の散らばりにも目を向けよう。
問題13〜18で整理する →4. 標本の割合を、全体に広げよう
60人のうち24人なら、標本では40％。全校600人でも割合がほぼ同じだと考えると、約何人になりそう？
図と式で考えよう
600 × (24 ÷ 60) ＝ 240 → 約240人
人数は10倍なので、24人を10倍しても同じ結果になるよ。「標本と母集団の割合が近い」と見ているんだね。
平均で全体の合計を見積もるとき
本文100ページから選んだ5ページの写真が、3、5、4、6、2枚なら、1ページ平均は4枚。本文全体では、4×100＝約400枚と推定できるよ。
推定には「約」「およそ」を付けよう。標本で分かった値と、全体について推定した値を区別することが大切だよ。
問題19〜24で推定する →5. 方法と結果を、立ち止まって確かめよう
- 母集団：本当は、だれの・何のことを知りたい？
- 選び方：全員が抽出の候補になっている？偏っていない？
- 回答：選んだ人のうち、何人が答えた？質問は誘導していない？
- ばらつき：取り直したときに結果は変わる？
- 結論：調べていない集団にまで、言い切っていない？
数学ではどう考える？
無作為に抽出された標本は、母集団の傾向を考えるための手がかりになるよ。同じ母集団・同じ抽出方法なら、標本を大きくすると、繰り返し調べたときの推定のばらつきは小さくなる傾向がある。でも、1回ごとに必ず全体の値へ近づくわけではないよ。
選び方の偏りや未回答の問題は、人数を増やすだけでは解決できない。標本調査の結論は確定ではないことも、説明に含めよう。
もう一度、最初の問いへ
「一部を調べただけで、全体のことが分かるの？」
今なら、どんな条件や注意を付けて答えられるかな？