問1 2乗を振り返る
7²と(−7)²を、それぞれ求めよう。
中3 ／ 平方根 ／ 48問
平方根の問題プリント
全8章を紙で練習できるよ。解答は後ろにまとめているよ。問題だけを印刷するときは、下のチェックを外そう。
学習日：＿＿＿＿＿＿ 名前：＿＿＿＿＿＿
1. 平方根って何だろう
問2 2つの平方根
36の平方根をすべて求めよう。
問3 根号と符号
√36と−√36を、それぞれ求めよう。
問4 0の平方根
0の平方根をすべて求めよう。
問5 分数の平方根
4/9の平方根をすべて求めよう。
問6 小数の平方根
0.49の平方根をすべて求めよう。
2. 有理数・無理数と大小
問7 有理数を見分ける
√9、√7、0.125、0.333…（3が無限に続く）を、有理数と無理数に分けよう。
問8 隣り合う整数
n＜√10＜n＋1を満たす整数nを求めよう。
問9 正の数の大小
√13と3.6の大小を、不等号で表そう。
問10 負の数の大小
−√6と−2の大小を、不等号で表そう。
問11 小さい順に並べる
√3、1.8、√5を、小さい順に並べよう。
問12 整数はいくつ？
√5より大きく、√40より小さい整数をすべて求めよう。
3. 根号の中を整理しよう
問13 √12を整理する
√12を、根号の中に平方数の因数が残らない形にしよう。
問14 √45を整理する
√45を、根号の中に平方数の因数が残らない形にしよう。
問15 √72を整理する
√72を、根号の中に平方数の因数が残らない形にしよう。
問16 根号1つにする
5√3を、√aの形に表そう。
問17 負の数を2乗したら
√((−8)²)を求めよう。
問18 平方数を作る
√(12n)が整数になるような、最も小さい正の整数nを求めよう。
4. かけ算・わり算と有理化
問19 根号のかけ算
√3×√12を計算しよう。
問20 係数のあるかけ算
2√5×3√10を計算しよう。
問21 根号のわり算
√54÷√6を計算しよう。
問22 分数の有理化
1/√3の分母を有理化しよう。
問23 有理化して約分
4/√8の分母を有理化して、約分しよう。
問24 負の符号に注意
(−3√2)×√6÷√3を計算しよう。
5. たし算・ひき算と混合計算
問25 同じ根号を集める
4√2＋3√2を計算しよう。
問26 整理してから足す
√8＋√18を計算しよう。
問27 3つの項を計算
√50−2√8＋√2を計算しよう。
問28 かけ算を先に
√2×√6＋√27を計算しよう。
問29 分配法則を使う
√3(√12＋2)を計算しよう。
問30 積の中間項を確かめる
(√5＋2)(√5−2)を計算しよう。
6. 面積と長さに使おう
問31 正方形の1辺
面積20 cm²の正方形の1辺の長さを、根号を使って表そう。
問32 花壇の周り
面積18 m²の正方形の花壇の周りの長さを、根号を使って表そう。
問33 テープは足りる？
面積8 m²の正方形の周りに、長さ12 mのテープを張る。余分な長さを考えないとき、足りるか理由も答えよう。
問34 面積と1辺の倍率
正方形の面積を3倍にした。1辺の長さは元の何倍になるかな？
問35 近似値で長さを表す
面積50 cm²の正方形の1辺を求めよう。√2≒1.414として、小数第2位までの近似値も求めよう。
問36 2枚の1辺の差
面積32 cm²と18 cm²の正方形の紙がある。1辺の長さの差を求めよう。
7. 近似値・誤差・有効数字
問37 √7の近似値
√7＝2.645751…を小数第2位までの近似値で表そう。
問38 誤差の符号
真の値3.142に対して近似値3.14を使った。誤差とその大きさを求めよう。
問39 測定値の範囲
ある長さx cmを0.1 cmの位に四捨五入すると12.3 cmだった。xの範囲を表そう。
問40 有効数字を伝える
43000を有効数字3桁として、a×10ⁿ（1≦a＜10）の形で表そう。
問41 小さい数を表す
0.00620を、有効数字3桁を保ってa×10ⁿ（1≦a＜10）の形で表そう。
問42 最後に丸めよう
面積7 m²の正方形の周りの長さを、小数第2位まで求めよう。√7＝2.645751…を使おう。
8. 理由を説明して仕上げよう
問43 反例で説明する
「√a＋√b＝√(a＋b)は、正の数a、bならいつでも成り立つ」を、反例で否定しよう。
問44 文字の式とつなぐ
2√7＋3√7＝5√7となる理由を、分配法則を使って説明しよう。
問45 有理化の理由
2/√5＝2√5/5に変えても値が変わらない理由を説明しよう。
問46 2乗して元に戻る？
√((−5)²)＝−5とした人がいる。どこが違うか、正しい値とともに説明しよう。
問47 必要な長さを判断
面積2 m²の正方形のマットの1辺に、1.4 mの棒を沿わせる。端から端まで届くか、近似値を使わずに説明しよう。
問48 入口の問いに答える
面積2 cm²の正方形の1辺を、正確な値と小数第2位までの近似値で表し、負の平方根を使わない理由も説明しよう。√2＝1.414213…とする。
解答と考え方
問1 2乗を振り返る
どちらも49
7²＝7×7＝49。 (−7)²＝(−7)×(−7)＝49。正の数も負の数も、2乗すると正になるね。
問2 2つの平方根
6と−6（±6）
6²＝36、(−6)²＝36。 正の数の平方根は、絶対値が等しい正と負の2つだよ。
問3 根号と符号
√36＝6、−√36＝−6
√36は正の平方根だから6。 −√36は、√36にマイナスを付けた数なので−6。
問4 0の平方根
0
0²＝0。 0では正と負の2つには分かれず、平方根は0だけだよ。
問5 分数の平方根
±2/3
(2/3)²＝4/9、(−2/3)²＝4/9。 分数でも、正の数の平方根は正と負の2つあるよ。
問6 小数の平方根
±0.7
0.7²＝0.49、(−0.7)²＝0.49。 7²＝49を使って、小数点の位置も確かめよう。
問7 有理数を見分ける
有理数：√9、0.125、0.333…。無理数：√7
√9＝3＝3/1、0.125＝1/8、0.333…＝1/3なので有理数。 7は整数の平方ではないので√7は無理数だよ。
問8 隣り合う整数
n＝3
3²＝9＜10＜16＝4²。 正の数では2乗した数の大小から、3＜√10＜4とわかるよ。
問9 正の数の大小
√13＞3.6
3.6²＝12.96。 13＞12.96なので、√13＞3.6だよ。
問10 負の数の大小
−√6＜−2
2²＝4＜6だから、2＜√6。 負の数にすると−√6の方が左にくるので、−√6＜−2。
問11 小さい順に並べる
√3＜1.8＜√5
1.8²＝3.24。 3＜3.24＜5で、3つとも正だから、√3＜1.8＜√5。
問12 整数はいくつ？
3、4、5、6
4＜5＜9より、2＜√5＜3。 36＜40＜49より、6＜√40＜7。 間にある整数は3、4、5、6の4つだよ。
問13 √12を整理する
2√3
√12＝√(4×3)。 √4＝2だから、2√3。 (2√3)²＝4×3＝12で確かめられるね。
問14 √45を整理する
3√5
√45＝√(9×5)。 √9＝3だから、3√5。 (3√5)²＝9×5＝45で確かめられるね。
問15 √72を整理する
6√2
√72＝√(36×2)。 √36＝6だから、6√2。 (6√2)²＝36×2＝72で確かめられるね。
問16 根号1つにする
√75
5＝√25。 5√3＝√25×√3＝√75。
問17 負の数を2乗したら
8
(−8)²＝64。 √64＝8。根号の答えは0以上になるよ。
問18 平方数を作る
n＝3
12＝2²×3なので、3をもう1つかければ2²×3²＝36。 n＝1、2では12、24は平方数でない。n＝3なら√36＝6となるよ。
問19 根号のかけ算
6
√3×√12＝√36＝6。 √12＝2√3として、2×3＝6と考えてもよいね。
問20 係数のあるかけ算
30√2
2×3×√50＝6√50。 √50＝5√2だから、6×5√2＝30√2。
問21 根号のわり算
3
√54÷√6＝√9。 √9＝3。
問22 分数の有理化
√3/3
1/√3＝√3/(√3×√3)。 分母は3なので、√3/3。
問23 有理化して約分
√2
4/√8＝4/(2√2)＝2/√2。 分子と分母に√2をかけると2√2/2＝√2。
問24 負の符号に注意
−6
−3×√(2×6÷3)＝−3√4。 √4＝2なので−6。
問25 同じ根号を集める
7√2
4√2＋3√2＝(4＋3)√2。 係数を足して7√2。
問26 整理してから足す
5√2
√8＝2√2、√18＝3√2。 2√2＋3√2＝5√2。
問27 3つの項を計算
2√2
√50＝5√2、2√8＝4√2。 5√2−4√2＋√2＝2√2。
問28 かけ算を先に
5√3
√2×√6＝√12＝2√3。 √27＝3√3だから、2√3＋3√3＝5√3。
問29 分配法則を使う
6＋2√3
√3×√12＋√3×2。 √36＋2√3＝6＋2√3。
問30 積の中間項を確かめる
1
5−2√5＋2√5−4。 根号の項が打ち消し合い、5−4＝1。
問31 正方形の1辺
2√5 cm
1辺の2乗が20なので、1辺は√20 cm。 √20＝2√5。長さだから負の答えは使わないよ。
問32 花壇の周り
12√2 m
1辺は√18＝3√2 m。 周りは4×3√2＝12√2 m。
問33 テープは足りる？
足りる
周りは4√8＝8√2 m。 (8√2)²＝128、12²＝144。128＜144なので8√2＜12。 必要な長さが12 m未満だから足りるよ。
問34 面積と1辺の倍率
√3倍
元の面積はa²、新しい面積は3a²。 新しい1辺は√(3a²)＝a√3なので、元の1辺の√3倍だよ。
問35 近似値で長さを表す
正確には5√2 cm、約7.07 cm
√50＝5√2。 5×1.414＝7.070なので、約7.07 cmだよ。
問36 2枚の1辺の差
√2 cm
それぞれの1辺は√32＝4√2 cm、√18＝3√2 cm。 差は4√2−3√2＝√2 cm。
問37 √7の近似値
2.65
小数第3位は5なので、小数第2位の4を1増やす。 √7≒2.65と書くよ。
問38 誤差の符号
誤差−0.002、大きさ0.002
3.14−3.142＝−0.002。 真の値より小さく表したので誤差は負。大きさは絶対値の0.002だよ。
問39 測定値の範囲
12.25≦x＜12.35
12.3より0.05小さい12.25から、0.05大きい12.35の直前まで。 下端は含み、上端は含まないことに注意しよう。
問40 有効数字を伝える
4.30×10⁴
43000＝4.30×10000＝4.30×10⁴。 4.3では2桁に見えるので、有効数字3桁を示す0を残すよ。
問41 小さい数を表す
6.20×10⁻³
0.00620＝6.20÷1000＝6.20×10⁻³。 最初の0は位を示す。6、2、最後の0が有効数字の3桁だよ。
問42 最後に丸めよう
約10.58 m
周りは4√7 m。4×2.645751…＝10.583004…。 小数第3位は3なので、約10.58 m。先に丸めると4×2.65＝10.60になり、ずれてしまうよ。
問43 反例で説明する
成り立たない。例：a＝9、b＝16
左辺は√9＋√16＝3＋4＝7。 右辺は√25＝5。7≠5なので「いつでも成り立つ」は誤りだよ。
問44 文字の式とつなぐ
√7を共通のまとまりとして、係数を足せるから
2√7＋3√7＝(2＋3)√7＝5√7。 文字の式のaを√7と考えても、同じ分配法則が成り立つんだ。
問45 有理化の理由
分母と分子に同じ0でない数√5をかけているから
√5/√5＝1なので、元の分数に1をかけているのと同じ。 (2×√5)/(√5×√5)＝2√5/5となるよ。
問46 2乗して元に戻る？
正しくは5。根号は0以上の平方根を表す
(−5)²＝25、その0以上の平方根は√25＝5。 「2乗と根号はいつでもそのまま消せる」と考えたところが違うよ。
問47 必要な長さを判断
届かない
1辺は√2 m。1.4²＝1.96＜2で、1.4と√2は正。 1.4＜√2だから、棒は少し短く、端から端までは届かないよ。
問48 入口の問いに答える
正確には√2 cm、約1.41 cm。長さは正だから
1辺をx cmとするとx²＝2。数の平方根は±√2。 長さなので正の√2を使い、小数第2位までなら約1.41 cm。 √2は正確な値、1.41は丸めた近似値だよ。