保護者・先生の方へ

この単元は、中学1年の「比例と反比例」を、子どもが自分の頭で「関係を式におく」ところから考えられるように作っています。ここでは、単元の設計の考え方、つまずきやすいところ、ご家庭や授業での使い方をまとめます。

1. 設計の考え方

「おく」から始める7つの段階

比例・反比例の問題は、どれも同じ7つの段階で解きます。

図：わかっている数と、求める「？」を表や図にする
おく：x と y が何の量かを1文で書き、y＝ax（反比例なら y＝a/x）とおく
入れる：わかっている x・y の組を代入する
求める：a についての方程式を解く
式にする：a を戻して、関係を式にする
使う：式に x（や y）を入れて、聞かれた数を求める
確かめる：はじめの組や場面に戻して確かめ、問いに答える

1次方程式で「わからない数を x とおく」ことを学んだ子どもにとって、「まだわからない比例定数を a とおく」は、同じ考え方の延長です。問題によって解き方を変えるのではなく、順番と言葉をそろえることで、初めて見る場面でも手が止まらないようにしています。

表・式・グラフを行き来する

同じ関係を、表・式・グラフの3つの形で見ることを大切にしています。比例定数 a は、表では「y÷x」（反比例では「x×y」）、式では「x の前の数」、グラフでは「右へ 1 進んだときに、たてに動く量」として現れます。どこから入っても a にたどりつけることが、関数の理解の中心になります。

予想してから、動かして確かめる

解説は「問い → 予想 → 動く図 → 発見 → 名前・式」の順に進みます。答えが画面に出る前に予想の問いを出し、図を最後まで動かしてから発見と説明が出てくるようにしています。「比例」「双曲線」などの名前は、体験のあとに与えます。

2. つまずきやすいところと、その理由

「比例は増える、反比例は減る」と一般化してしまう：小学校では x・y が正の数だけだったため、このイメージで困りませんでした。中学校では、y＝－2x のように x が増えると y が減る比例や、y＝－6/x のように、x の符号が同じ範囲では x が増えると y も増える反比例が出てきます。反比例で「x が増えると y が減る（a＞0）」「x が増えると y も増える（a＜0）」と言えるのは、どちらも x の符号が同じ範囲の中だけです。x が 0 をまたぐと y の符号が入れかわるため、たとえば y＝－6/x で x が－1 から 1 に増えると、y は 6 から－6 に減ります。見分けの決め手は、増えるか減るかではなく、y÷x が一定か、x×y が一定か、です。
x と y を逆にして a を求める：「3 m で 12 g」を a＝3÷12 としてしまう誤りです。数の大小でわる順番を決めてしまうことが原因です。「おく」の1文（長さを x m、重さを y g とする）に戻ると気づけます。
負の数の代入・符号：y＝－4x に x＝－2 を入れるとき、かっこを書かずに符号をまちがえます。正負の数の単元との接続が弱いと起きやすい誤りです。
反比例の x＝0 とグラフ：反比例のグラフを原点でつないだり、軸にふれさせたりします。「0 ではわれない」「x×y が一定なら y は 0 にならない」という理由と、グラフの形を結びつけることが大切です。
座標の順番と目もり：(x, y) を (たて, 横) の順に読む、目もり1つ分を確かめずに読む、といった誤りです。
変域の書き方：反比例（a＞0）や a＜0 の比例では、x の小さいはしが y の大きいはしになります。両はしを代入したあと、大小を比べずに書くとまちがえます。

これらはよくある間違いに、「なぜそう書きたくなるのか」「どう確かめれば気づけるか」とあわせてまとめています。

3. ご家庭での声かけ

答えを教えなくても、次のような質問で子どもの考えを支えることができます。

「x と y は、それぞれ何の量？」（おくの1文を言えるか）
「この場面で、変わらないものは何？」（1あたりの量か、全体の量か）
「x が2倍になったら、y はどうなる？」（比例か反比例か）
「x が負の数だったら、どうなる？」（中学校での広がり）
「その答えを、はじめの組に戻すと合う？」（確かめる習慣）
「グラフにすると、どんな形になりそう？」（表・式・グラフのつながり）

まちがえたときは、「どこでまちがえたか」より先に、「どう確かめたら気づけたか」を一緒に考えてみてください。つまずきの場所がわからないときは、つまずき診断（10問）が、正負の数・代入・方程式・表・グラフ・式の使い方のどこから確かめればよいかを示します。点数は表示しません。

4. 授業での使い方

導入：各解説の冒頭の問い（例：「今の水面を 0 cm とすると、2分前の水面は？」「歯の数が多い歯車は、速く回る？」）を、そのまま学級への問いかけに使えます。
動く図：大きな画面に映し、「▶ 動かす」の前に予想を挙手やノートで集めてから進めると、予想と結果のずれを話し合いの材料にできます。
どう考えた？：各解説の終わりに、言葉で説明する問いがあります。ノートに書かせたり、ペアで説明し合ったりする活動に使えます。書いた内容は端末の外へは送られません。
問題集：問題はすべて7つの段階で解けるように作ってあり、ヒントを1つずつ開けます。個別の練習や宿題に使えます。
活用：解説8では、歯車・速さと時間・水そう・てこ、比例と反比例のグラフの交点を扱います。交点では、2乗して 4 になる数（2 と－2）を考える場面があり、中学3年の平方根への見通しにもつながります。

5. 学習指導要領との対応

この単元は、中学校学習指導要領（平成29年告示）第1学年「C 関数」(1) に対応しています。

事項	主に扱う解説
ア(ｱ) 関数関係の意味を理解すること。	解説1、解説8
ア(ｲ) 比例，反比例について理解すること。	解説3、解説6
ア(ｳ) 座標の意味を理解すること。	解説4
ア(ｴ) 比例，反比例を表，式，グラフなどに表すこと。	解説2・3・5・6・7
イ(ｱ) 比例，反比例として捉えられる二つの数量について，表，式，グラフなどを用いて調べ，それらの変化や対応の特徴を見いだすこと。	解説3・5・6・7・8
イ(ｲ) 比例，反比例を用いて具体的な事象を捉え考察し表現すること。	解説2、解説8

〔用語・記号〕の「関数　変数　変域」は、解説1で扱います。第1学年の「内容の取扱い」には、C 関数の項目はありません。問題集の分野との対応を含めた一覧は、学習指導要領との対応をご覧ください。