問1 2乗して25になる数
x² ＝ 25 を満たす x の値をすべて求めなさい。
2次方程式・問題と解答
全42問を印刷できるよ。解答は後ろにまとまっているよ。問題だけにする場合はチェックを外そう。
2次方程式と解の意味
問2 代入して解を見つける
−1，0，1，4 のうち、x² − 3x − 4 ＝ 0 の解になる数をすべて答えなさい。
問3 整理して2次方程式を見分ける
次のうち、整理すると2次方程式になるものを1つ選び、その理由を説明しなさい。
- x(x＋1)＝12
- x²＋x＝x²＋2
- x＋y＝12
問4 解が1つになるとき
(x − 4)² ＝ 0 を解きなさい。
問5 「4だけ」でよい？
x² ＝ 16 を解いて「x＝4」と答えた人がいます。正しい説明を選びなさい。
- 4だけでよい
- −4も解なので、4と−4を書く
- −4だけを書く
問6 0のときの±
x² ＝ 0 を解き、解の個数も説明しなさい。
因数分解で解く
問7 和が7、積が12
x²＋7x＋12＝0 を因数分解を使って解きなさい。
問8 2つとも正の解
x²−7x＋10＝0 を因数分解を使って解きなさい。
問9 符号が異なる2つの解
x²＋x−12＝0 を因数分解を使って解きなさい。
問10 平方の差を使う
x²−36＝0 を因数分解を使って解きなさい。
問11 xをくくり出す
x²−5x＝0 を因数分解を使って解きなさい。
問12 右辺を0にしてから
(x＋2)(x−3)＝6 を因数分解を使って解きなさい。
平方根の考えで解く
問13 平方根を残した答え
x²＝18 を平方根の考えを使って解きなさい。
問14 まず係数で割る
3x²＝12 を平方根の考えを使って解きなさい。
問15 分数の平方根
x²/2＝9/8 を平方根の考えを使って解きなさい。
問16 かっこを1つの数とみる
(x−3)²＝16 を平方根の考えを使って解きなさい。
問17 かっこと根号
(x＋2)²＝7 を平方根の考えを使って解きなさい。
問18 係数とかっこを整理
2(x−1)²＝10 を平方根の考えを使って解きなさい。
平方の形に変形する
問19 両辺に9を足す
x²＋6x＝7 を平方の形に変形して解きなさい。
問20 負の係数でも平方に
x²−4x＝1 を平方の形に変形して解きなさい。
問21 定数を移してから
x²＋8x＋3＝0 を平方の形に変形して解きなさい。
問22 左辺を正方形に
x²−6x＋4＝0 を平方の形に変形して解きなさい。
問23 足す数は係数の半分の2乗
x²＋2x−6＝0 を平方の形に変形して解きなさい。
問24 すでに平方の形が隠れている
x²−8x＋16＝0 を平方の形に変形して解きなさい。
解の公式を使う
問25 xの係数が奇数
x²＋3x＋1＝0 を解の公式で解きなさい。
問26 aが1でない式
2x²−3x−1＝0 を解の公式で解きなさい。
問27 根号と分数を整理
3x²＋2x−2＝0 を解の公式で解きなさい。
問28 因数分解の答えと比べる
2x²＋5x＋2＝0 を解の公式で解きなさい。
問29 右辺の項を移す
x²＝3x＋5 を解の公式で解きなさい。
問30 根号の中が0
4x²−4x＋1＝0 を解の公式で解きなさい。
解き方を選び、説明する
問31 0の解を失わない
x²−4x＝0 を解き、選んだ方法のよさを説明しなさい。
問32 平方の形を見つける
x²−10x＋25＝0 を解き、選んだ方法のよさを説明しなさい。
問33 xの項がない式
3x²＝24 を解き、選んだ方法のよさを説明しなさい。
問34 整数で因数分解できないとき
x²−x−1＝0 を解き、選んだ方法のよさを説明しなさい。
問35 小数の係数を整数に
0.2x²−0.6x−0.8＝0 を解き、選んだ方法のよさを説明しなさい。
問36 分母を払ってから
x²/3＋x/2−1/3＝0 を解き、選んだ方法のよさを説明しなさい。
文章題に使い、解を吟味する
問37 面積から長方形の辺を求める
縦より横が3 cm長い長方形の面積は54 cm²です。縦の長さを求めなさい。
問38 連続する自然数
連続する2つの自然数の積が72です。小さい方の数を求めなさい。
問39 庭の内側につくる道
縦8 m、横12 mの長方形の庭の内側に、周囲に沿って同じ幅の道をつくります。残る中央の長方形の面積が60 m²となる道の幅を求めなさい。
問40 負の解も場面に合う
ある数を2乗すると、その数に6を加えた数になります。ある数をすべて求めなさい。
問41 根号の答えを長さとして考える
横が縦より2 cm長い長方形のカードがあります。面積が7 cm²のとき、縦の長さを求めなさい。
問42 入口の問いに戻る
正方形の1辺を2 cm長く、もう1辺を1 cm短くして長方形をつくると、面積は40 cm²になりました。もとの正方形の1辺の長さを求めなさい。
解答と考え方
問1
x ＝ −5，5
5² ＝ 25 → (−5)² ＝ 25 → x ＝ 5，−5
√25 は5だけ。でも x²＝25 の解は5と−5だよ。√という記号と、方程式の解を区別しよう。
問2
x ＝ −1，4
x＝−1：1＋3−4＝0 → x＝0：0−0−4＝−4 → x＝1：1−3−4＝−6 → x＝4：16−12−4＝0
x＝−1 を代入すると −3×(−1) は＋3。負の数はかっこに入れよう。
問3
x(x＋1)＝12。整理すると x²＋x−12＝0 になる。
x(x＋1)＝12 → x²＋x−12＝0 → x²＋x＝x²＋2 → x−2＝0 で1次方程式 → x＋y＝12 は文字が2種類あり、この単元で扱う1元2次方程式ではない
両辺の x² が消える式を、2次方程式と決めつけないようにしよう。
問4
x ＝ 4
x−4＝0 → x＝4
「2次方程式だから必ず異なる解が2つ」とは限らないよ。
問5
−4も解なので、4と−4を書く。
4²＝16 → (−4)²＝16 → 解は x＝4，−4
負の解を落としたときは、負の数の2乗に戻ろう。
問6
x ＝ 0
x＝0 → ＋0 と −0 は同じ数なので、解は1つ
±0を2個の異なる解と数えないようにしよう。
問7
x ＝ −4，−3
(x＋3)(x＋4)＝0 → x＋3＝0 または x＋4＝0 → x＝−3，−4
xで割ると x＝0 を失う場合があるよ。また「積が0」の性質は、右辺が6のままでは使えないよ。
問8
x ＝ 2，5
(x−2)(x−5)＝0 → x−2＝0 または x−5＝0 → x＝2，5
xで割ると x＝0 を失う場合があるよ。また「積が0」の性質は、右辺が6のままでは使えないよ。
問9
x ＝ −4，3
(x＋4)(x−3)＝0 → x＋4＝0 または x−3＝0 → x＝−4，3
xで割ると x＝0 を失う場合があるよ。また「積が0」の性質は、右辺が6のままでは使えないよ。
問10
x ＝ −6，6
(x＋6)(x−6)＝0 → x＋6＝0 または x−6＝0 → x＝−6，6
xで割ると x＝0 を失う場合があるよ。また「積が0」の性質は、右辺が6のままでは使えないよ。
問11
x ＝ 0，5
x(x−5)＝0 → x＝0 または x−5＝0 → x＝0，5
xで割ると x＝0 を失う場合があるよ。また「積が0」の性質は、右辺が6のままでは使えないよ。
問12
x ＝ −3，4
x²−x−6＝6 → x²−x−12＝0 → (x−4)(x＋3)＝0 → x＝4，−3
xで割ると x＝0 を失う場合があるよ。また「積が0」の性質は、右辺が6のままでは使えないよ。
問13
x ＝ −3 × √(2)，3 × √(2)
x＝±√18 → 18＝9×2 なので √18＝3√2 → x＝3√2，−3√2
(x−3)²＝16 から x−3＝4 だけにすると、もう1つの解を落とすよ。
問14
x ＝ −2，2
両辺を3で割って x²＝4 → x＝±2
(x−3)²＝16 から x−3＝4 だけにすると、もう1つの解を落とすよ。
問15
x ＝ −3/2，3/2
両辺を2倍して x²＝9/4 → x＝±3/2
(x−3)²＝16 から x−3＝4 だけにすると、もう1つの解を落とすよ。
問16
x ＝ −1，7
x−3＝±4 → x＝3＋4 または x＝3−4 → x＝7，−1
(x−3)²＝16 から x−3＝4 だけにすると、もう1つの解を落とすよ。
問17
x ＝ −√(7) − 2，−2 + √(7)
x＋2＝±√7 → 両辺から2を引いて x＝−2±√7
(x−3)²＝16 から x−3＝4 だけにすると、もう1つの解を落とすよ。
問18
x ＝ 1 − √(5)，1 + √(5)
両辺を2で割って (x−1)²＝5 → x−1＝±√5 → x＝1±√5
(x−3)²＝16 から x−3＝4 だけにすると、もう1つの解を落とすよ。
問19
x ＝ −7，1
6の半分は3。両辺に3²＝9を足す → x²＋6x＋9＝7＋9 → (x＋3)²＝16 → x＋3＝±4 → x＝1，−7
左辺だけに数を足すと等式が変わるよ。足した数を右辺にも必ず書こう。
問20
x ＝ 2 − √(5)，2 + √(5)
−4の半分は−2。両辺に(−2)²＝4を足す → x²−4x＋4＝5 → (x−2)²＝5 → x＝2±√5
左辺だけに数を足すと等式が変わるよ。足した数を右辺にも必ず書こう。
問21
x ＝ −4 − √(13)，−4 + √(13)
x²＋8x＝−3 → 8の半分4の2乗、16を両辺に足す → (x＋4)²＝13 → x＝−4±√13
左辺だけに数を足すと等式が変わるよ。足した数を右辺にも必ず書こう。
問22
x ＝ 3 − √(5)，√(5) + 3
x²−6x＝−4 → 両辺に9を足して (x−3)²＝5 → x−3＝±√5 → x＝3±√5
左辺だけに数を足すと等式が変わるよ。足した数を右辺にも必ず書こう。
問23
x ＝ −√(7) − 1，−1 + √(7)
x²＋2x＝6 → 両辺に1を足して (x＋1)²＝7 → x＝−1±√7
左辺だけに数を足すと等式が変わるよ。足した数を右辺にも必ず書こう。
問24
x ＝ 4
x²−8x＋16＝(x−4)² → (x−4)²＝0 → x−4＝0 → x＝4
左辺だけに数を足すと等式が変わるよ。足した数を右辺にも必ず書こう。
問25
x ＝ −3/2 − √(5)/2，−3/2 + √(5)/2
右辺を0にそろえると x² + 3 × x + 1 ＝ 0 → a＝1，b＝3，c＝1 → b²−4ac＝(3)²−4×(1)×(1)＝5 → x＝(−(3)±√5) / (2×(1)) → 整理して x＝−3/2 − √(5)/2，−3/2 + √(5)/2
分母は2aで、分子全体を割るよ。bが負なら、−bは正になることにも注意しよう。
問26
x ＝ 3/4 − √(17)/4，3/4 + √(17)/4
右辺を0にそろえると 2 × x² − 3 × x − 1 ＝ 0 → a＝2，b＝-3，c＝-1 → b²−4ac＝(-3)²−4×(2)×(-1)＝17 → x＝(−(-3)±√17) / (2×(2)) → 整理して x＝3/4 − √(17)/4，3/4 + √(17)/4
分母は2aで、分子全体を割るよ。bが負なら、−bは正になることにも注意しよう。
問27
x ＝ −√(7)/3 − 1/3，−1/3 + √(7)/3
右辺を0にそろえると 3 × x² + 2 × x − 2 ＝ 0 → a＝3，b＝2，c＝-2 → b²−4ac＝(2)²−4×(3)×(-2)＝28 → x＝(−(2)±√28) / (2×(3)) → 整理して x＝−1/3 + √(7)/3，−√(7)/3 − 1/3
分母は2aで、分子全体を割るよ。bが負なら、−bは正になることにも注意しよう。
問28
x ＝ −2，−1/2
右辺を0にそろえると 2 × x² + 5 × x + 2 ＝ 0 → a＝2，b＝5，c＝2 → b²−4ac＝(5)²−4×(2)×(2)＝9 → x＝(−(5)±√9) / (2×(2)) → 整理して x＝−2，−1/2
分母は2aで、分子全体を割るよ。bが負なら、−bは正になることにも注意しよう。
問29
x ＝ 3/2 − √(29)/2，3/2 + √(29)/2
右辺を0にそろえると x² − 3 × x − 5 ＝ 0 → a＝1，b＝-3，c＝-5 → b²−4ac＝(-3)²−4×(1)×(-5)＝29 → x＝(−(-3)±√29) / (2×(1)) → 整理して x＝3/2 − √(29)/2，3/2 + √(29)/2
分母は2aで、分子全体を割るよ。bが負なら、−bは正になることにも注意しよう。
問30
x ＝ 1/2
右辺を0にそろえると 4 × x² − 4 × x + 1 ＝ 0 → a＝4，b＝-4，c＝1 → b²−4ac＝(-4)²−4×(4)×(1)＝0 → x＝(−(-4)±√0) / (2×(4)) → 整理して x＝1/2
分母は2aで、分子全体を割るよ。bが負なら、−bは正になることにも注意しよう。
問31
x ＝ 0，4
x(x−4)＝0 → x＝0 または x−4＝0 → x＝0，4
両辺をxで割ると、x＝0の場合を外してしまうよ。
問32
x ＝ 5
(x−5)²＝0 → x−5＝0 → x＝5
x＝±5ではないよ。2乗されているのはx−5だよ。
問33
x ＝ −2 × √(2)，2 × √(2)
両辺を3で割って x²＝8 → x＝±√8＝±2√2
√8＝4ではないよ。8＝4×2 と分けよう。
問34
x ＝ 1/2 − √(5)/2，1/2 + √(5)/2
a＝1，b＝−1，c＝−1 → b²−4ac＝1＋4＝5 → x＝(1±√5)/2
整数で因数分解できないからといって、解がないわけではないよ。
問35
x ＝ −1，4
x²−3x−4＝0 → (x−4)(x＋1)＝0 → x＝4，−1
一部の項だけを5倍しないように、すべての項を確認しよう。
問36
x ＝ −2，1/2
2x²＋3x−2＝0 → a＝2，b＝3，c＝−2 → x＝(−3±√25)/4＝(−3±5)/4 → x＝1/2，−2
最初のx²/3は6倍すると2x²。分母だけを消さないようにしよう。
問37
縦の長さは6 cm。
縦はx cm、横は(x＋3) cm → 同じ長方形の面積だから x(x＋3)＝54 → x²＋3x−54＝0 → (x＋9)(x−6)＝0 → x＝−9，6。x＞0より x＝6 → 横は9 cm、6×9＝54 cm²
xは縦の長さなので x＞0。−9はこの条件に合わない。
問38
小さい方は8（2つの数は8と9）。
同じ積を表すので x(x＋1)＝72 → x²＋x−72＝0 → (x＋9)(x−8)＝0 → x＝−9，8。自然数の条件から x＝8 → 大きい方は9。8×9＝72
xは自然数なので正の整数。−9は自然数ではない。
問39
道の幅は1 m。
中央の縦は8−2x、横は12−2x（左右・上下に道がある） → 同じ中央の面積なので (8−2x)(12−2x)＝60 → 4x²−40x＋36＝0 → x²−10x＋9＝0 → (x−1)(x−9)＝0 → x＝1，9 → 0＜x＜4より x＝1。中央は6 m×10 mで60 m²
道に幅があり、中央の縦も正なので 0＜x＜4。9はこの条件に合わない。
問40
ある数は−2と3。
2乗した数と6を足した数が同じなので x²＝x＋6 → x²−x−6＝0 → (x−3)(x＋2)＝0 → x＝3，−2 → 3²＝3＋6＝9、(−2)²＝−2＋6＝4
ある数には正という条件がない。−2と3はどちらも使える。
問41
縦は(−1＋2√2) cm（約1.83 cm）。
同じ面積を表すので x(x＋2)＝7 → x²＋2x＝7 → (x＋1)²＝8 → x＝−1±2√2 → x＞0だから x＝−1＋2√2 → 約1.83 cm。横は約3.83 cm（近似値）。正確には (−1＋2√2)(1＋2√2)＝7
xは長さなので x＞0。−1−2√2は負なので使えない。
問42
もとの正方形の1辺は6 cm。
長方形の辺はx＋2とx−1。面積より (x＋2)(x−1)＝40 → x²＋x−2＝40 → x²＋x−42＝0 → (x＋7)(x−6)＝0 → x＝−7，6 → x＞1より x＝6 → 長方形は8 cm×5 cm。面積は40 cm²
短くした辺も正なので x＞1。−7はこの条件に合わない。